Глава 9. Пространство , множества в нем. Отображения и функции

§9.1. Пространство , множества в нем

9.1.1. Пространство

Напомним, что арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек Это множество представляет собой векторное пространство с операциями суммы и произведения на число ,определяемыми следующим образом:

Проверка аксиом векторного пространства не представляет труда.

Более того, – это евклидово пространство со скалярным произведением, определённым равенством

. (1)

Напомним, что скалярное произведение должно обладать следующими свойствами:

1. .

2. .

3. .

4. .

Проверка того, что определённая равенством (1) величина действительно обладает этими свойствами, труда не представляет.

В пространствеопределенанорма вектора , равная

и расстояние между и,заданное формулой

. (2)

При иэта формула становится известной формулой для расстояний на плоскости и в пространстве, поэтому общую формулу (2) для расстояния можно рассматривать как естественное обобщение известных формул на случайn-мерного пространства.

Введённая формулой (2) величина обладает следующими свойствами

1. , причем;

2. ;

3.

Эти свойства называются аксиомами расстояния(метрики). Первые два из них очевидны для величины (2). Докажем свойство 3, которое называется неравенством треугольника.

Для этого рассмотрим величину,где произвольные векторы, любое число. По свойству 4 скалярного произведения для любоговыполняется неравенство. Используя свойства 1-3 скалярного произведения, перепишем это неравенство в виде

, или . То, что квадратный трёхчлен неотрицателен при любом , означает, что его дискриминант неположителен, т.е. что.Это неравенство, кстати, выполняется и при . Таким образом, доказано, что для всех векторовсправедливо неравенство

, (3)

называемое неравенством Коши-Буняковского. Отметим, что в его левой части стоит модуль числа, равного скалярному произведению векторов, в правой части - произведение норм векторов. Из этого неравенства следует неравенство для норм векторов

. (4)

Для доказательства (4) рассмотрим квадрат левой части (4) и используем (3):

.

Теперь, чтобы доказать неравенство , осталось переписать его в виде и применить неравенство (4) .

Определение. Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называетсяметрическим пространством, а -метрикой (или расстоянием) а этом пространстве.

Итак, - метрическое пространство с расстоянием (2). Приэто обычная числовая прямая, при и, соответственно, плоскость и пространство. Удобство в рассмотрении абстрактного пространствасостоит, в частности, в том, что не имея интуитивного представления о геометрии этого пространства примы можем, тем не менее, вычислять расстояния ( и углы) в этом пространстве.

9.1.2. Внутренние, предельные, граничные точки множества в пространстве

Изучая этот пункт, полезно вспомнить пункт 2.2.5, где все приведённые ниже определения вводились в случае .

Определение.-окрестностью точки называется множество точек таких, что . Обозначим ее. Приэто - интервал. -окрестность визображена на рисунке:

Определение. Пусть . Тогда называетсявнутренней точкой этого множества, если она входит в это множество вместе с некоторой окрестностью, т.е. .

Определение. - открытое множество, если все его точки – внутренние.

Примеры: интервал в , круг без границы в .

(( ) )

Определение. Пусть . Точка называется предельной точкой множества, если любая проколотая окрестность этой точки пересекается с множеством, т.е..

Определение. Множество называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок в , круг с границей в .

Замечание. Не следует считать, что любое множество является либо открытым, либо замкнутым. Примером, опровергающим это предположении, служит полуинтервал в .

Исследуем этот вопрос подробнее.

Определение. Пусть . Точка называется граничной точкой множества, если любая проколотая окрестность этой точки пересекается с как с множеством, так и с его дополнением, т.е..

Осталось заметить, что открытое множество не содержит своих граничных точек, а замкнутое множество – содержит свои граничные точки.

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т.е. .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.