2. А и в пересекаются, т.Е. Ав

Студенты ШГПУ, проживающие в г. Шуе

3.А и С пересекаются, т.е. АС.

В и С не пересекаются ( так как учащиеся не могут быть одновременно студентами), т.е. ВС = .

4.А и D пересекаются, т.е. АD.

В и D пересекаются, т.е. ВD. Более того, В является подмножеством множества D (В  D), так как все студенты ШГПУ являются студентами Ивановской области.

С и D не пересекаются ( так как учащиеся не могут быть одновременно студентами), т.е. СD = .

Задача Приведите пример множеств А, В, С, D, для которых данная диаграмма была бы верна. Ответ поясните.

Решение

А– множество треугольников;

В– множество равнобедренных треугольников;

С– множество равносторонних треугольников;

D– множество прямоугольных треугольников.

Пояснение: все равносторонние треугольники являются равнобедренными; нет ни одного треугольника, который одновременно являлся бы равносторонним и прямоугольным; есть такие треугольники, которые одновременно являются и равнобедренными и прямоугольными.

Операции над множествами

Пересечение множеств

Пересечением множествАиВназывается множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно как множествуА, так и множествуВ. Записывается это так:АВ. Таким образом, по определению,АВ={х хА и х В}.

Пусть даны два множества: А={2,4,6,8} иВ={5,6,7,8,9}, тогдаАВ= {6, 8}.

Если изобразить множества АиВпри помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованные области.

Из диаграммы видно:

• если А=В, тоАВ=А=В;

• если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечение пусто: АВ=;

• если АВ, тоАВ=А;

• если ВА, тоАВ=В.

Если множеств АиВзаданы перечислением элементов, то чтобы найтиАВ,достаточно перечислить их общие элементы. Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то характеристическое свойство множестваАВсоставляется из характеристических свойств пресекаемых множеств с помощью союза «и».

Например, пересечение множества А -четных натуральных чисел и множестваВ -двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множестваА -«быть четным натуральным числом», а характеристическое свойство элементов множестваВ –«быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, характеристическое свойство элементовАВ –«быть четным натуральным и двузначным числом». Таким образом, множествоАВсостоит из четных двузначных чисел (союз «и» в звеном случае можно опустить).

Как вы думаете, чему равно: А  ; А  U; U  ; А  А?

По аналогии с пересечением двух множеств можно определить пересечение для трех, четырех, …, nмножеств. Например,А={1,2,3,4},В={1,4,6,8,9},С={2,4,3,8,9}, тогдаАВС= {4}.

2.Объединение множеств

ОбъединениеммножествАиВназывается множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множествуАили множествуВ.

Записывается это так: АВ. Таким образом, по определению,АВ={х хА или х В}.

Пусть даны два множества: А={2,4,6,8} иВ={5,6,7,8,9}, тогдаАВ= {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}.

Если изобразить множества АиВпри помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованные области.

Из диаграммы видно:

• если А=В, тоАВ=А=В;

• если АВ, тоАВ=В;

• если ВА, тоАВ=А.

Если множеств АиВзаданы перечислением элементов, то чтобы найтиАВ,достаточно перечислить все элементы первого множества, а затем все элементы второго множества. элементы. Так как каждый элемент в множестве принято записывать только один раз, то из второго множества нужно записывать в пересечение не все элементы, а только те, которых нет в первом. Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то характеристическое свойство множестваАВсоставляется из характеристических свойств объединяемых множеств с помощью союза «или».

Например, в объединение множеств А - четных натуральных чисел и множества В - нечетных натуральных чисел попадут все натуральные числа, то есть АВ=N.

В случае, когда находят объединение множества А и его подмножества В характеристическое свойство элементов АВбудет таким, как и свойство элементов множества А.

Как вы думаете, чему равно: А  ; А  U; U  ; А  А?

По аналогии с объединением двух множеств можно определить объединение для трех, четырех, …, nмножеств. Например,А={1,2,3,4},В={1,4,6,8,9},С={2,4,3,8,9}, тогдаАВС= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,}.

Задание: для каких множеств А и В справедливо равенство: АВ= АВ?