Министерство образования

Российской Федерации

Шуйский государственный педагогический университет

С.А. Зайцева Множества Основные понятия

Лекционный материал

Шуя  2010

Понятие множества

Основатель теории множеств Георг Кантор (1845—1918) охарактеризовал это понятие следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое, как единое». Однако, эта характеристика не является точным определением. Понятие множества относится к первоначальным и неопределяемым математическим понятиям. Описывая его, можно сказать, что МНОЖЕСТВО – это совокупность предметов или явлений, объединенных каким–либо общим свойством.

Можно говорить о множестве всех студентов ШГПУ, о множестве всех людей на Земле, о множестве натуральных чисел, о множестве песчинок на берегу реки и т. д. При этом, множество воспринимается как нечто целое, состоящее из предметов или объектов.

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами (А, В, С, D,..), а объекты и предметы прописными (а,б,с,d,..). Если объект х является элементом множества А, то говорят, что он принадлежит множеству А и записывают так: х  А. Если объект х не является элементом А, то это записы­вают так: хА и говорят, что х не принадлежит А. Например, если N есть множество всех натуральных чисел, то 2  N, а -2 N.

Все множества можно разделить на две группы: конечные и бесконечные. Множество будем называть конечным, если все его элементы можно перечислить. Если это сделать теоретически невозможно, то оно бесконечно. Например, множество студентов ШГПУ и множество всех людей на Земле – конечные множества, а множество N бесконечно.

Среди всех множеств выделяют два особенных, которые имеют фиксированные обозначения и характеристики. Пустое множество – не содержит ни одного элемента, а универсальное множество - U , наоборот, содержит в себе все объекты и предметы любой природы. Поэтому для любого объекта х можно утверждать, что х U и х .

Подумайте к какой группе множеств относится пустое множество? А к какой универсальное множество?

Множество считается заданным (определенным), если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называется характеристическим свойством множества. Одно и то же множество может быть задано различными характеристическими свойствами. Например:

• множество четных натуральных чисел;

• множество натуральных чисел, которые делятся на 2;

• все натуральные числа, которые получаются прибавлением к 2 четного числа;

• натуральные числа вида 2n, где n – натуральное число.

Если очень трудно или невозможно подобрать характеристическое свойство для некоторого множества, то его можно задать перечислив все элементы, которые ему принадлежат. Если множество задано списком, то употребляются фигурные скобки, в которые помещают названия всех элементов множества, разделенные запятыми. Так, {1, 2, 3} обозна­чает множество, состоящее из чисел один, два, три и только из них.

Примерами задания множества с помощью перечисления его элементов могут служить: список названий стран в географическом атласе, списком студентов в журнале посещаемости, множество учебных специальностей, на которые ведется прием в ШГПУ, отраженных в рекламном плакате. Но не все множества можно задать перечислением элементов. Подумайте, о каких множествах идет речь?

Для наглядности множества изображают кругами или любыми другими геометрическими фигурами, а их элементы точками, расположенными внутри круга. Такие изображения называют диаграммами Эйлера–Венна в честь известных математиков. На рисунке видно, чтоа А, а в А.

У

А

U

ниверсальное множество принято изображать на диаграммах прямоугольником, а все объекты и множества внутри него.

Подумайте как изобразить на диаграмме пустое множество.

Задача. Пусть дано множество А={1,2,3,4,5}. Верны ли следующие записи:

1 А; 2А; {1} А; {1, 2} А;

 А; А А; А U.