5. Переходные характеристики cr - и rc – цепей Анализируемая цепь описывается переходной характеристикой, равной реакции цепи на единичный скачек воздействия. Схема цепи изображена на рис.1

U_r I

R

e (t)

C U_c

Рис. 1

Воздействие e(t)– скачек напряжения в момент времени t = 0на величинуЕ. Согласно закону Кирхгофа запишем уравнение U_r + U_c = e(t). Так как U_r = iR, a i = CdU_c/dt, то уравнение примет вид RC dU_c/dt + U_c = e(t). При e(t) = 0 решение однородного уравнения цепиU_c(t) = Аe ^–t/RC.

Частное решение неоднородного уравнения описывает стационарный режим. В рассматриваемом примере с течением времени емкость зарядится до стационарного значения U_c= E. Константу А можно найти из начального условия: U_c = 0 при t = 0. Поэтому А = - Е. Окончательное выражение для напряжения U_c(t) = E [1 – exp(-t/RC)], t ≥ 0. Переходная характеристика RC – цепи h_c(t) = 1 – exp( - t/RC ), t ≥ 0.

График зависимости напряжения U_c(t) от времени представлен на рис. 2.

U_c

Е

0,63E

τ t

Рис. 2

τ = RC – называется постоянной времени, которая означает время, в течение которого напряжение на конденсаторе изменится в e раз. Например: за время τ напряжение U_c возрастает до 63% от Е, а за время 3τ до 95%.

Форму сигнала, как отклик системы на импульсное воздействие можно исследовать с помощью преобразования Фурье. Применим его для импульсного сигнала, U₁ = e(t) = E при 0 ≤ t ≤ t₁, U₁ = e(t) = 0 при t < 0, t > t₁,

подаваемого на цепь, приведенной на рис. 3.

С

U₁ R U₂

Рис. 3

Введем понятие коэффициента передачи рассматриваемой цепи:

.

1. Находим спектральную функцию сигнала:

.

2. Определим измененную спектральную функцию сигнала после прохождения через цепь:

.

3. По измененной спектральной функции сигнала находим сигнал на выходе цепи:

После интегрирования получаем:

U₂ = e^*(t) = Ee ^–t/RC при t < t₁

при t > t₁.

1.0 U₁/E 1.0 U₂/E

t = t₁

t = 0 t = t₁ t t = 0 t

Рис. 4

Первая часть решения, при 0 ≤ t ≤t₁, соответствует переходному процессу в цепи при включении Е; вторая часть, при t > t₁, при выключении Е. На рис.4 представлены входной сигнал прямоугольной формы и форма сигнала на выходе СR-цепи при различных τ.