Изучение свойств последовательного и параллельного колебательных lc – контуров
Цель работы: Изучение резонансных и фильтрующих свойств параллельного и последовательного контуров, измерение их основных параметров, снятие частотных и переходных характеристик. Компьютерное моделирование лабораторного эксперимента.
Свободные колебания в lc – контуре
Простой и широко используемой в радиоэлектронике линейной системой является колебательный контур. Он содержит конденсатор С, индуктивность L и сопротивление R. Пусть в момент времени t=0 на конденсаторе имеется заряд qo = CUo. Найдем закон изменения во времени заряда на конденсаторе.
L
С
R
На основании второго закона Кирхгофа:
.
Учитывая, что , и вводя обозначения(- коэффициент затухания,- собственная циклическая частота контура), получим:
Если », решение уравнения может быть представлено в виде:
, где .
Таким образом, при »зависимость величины заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых несколько меньше собственных колебаний контура. Учитывая начальные условияt = 0, q = q0 , при »можно считать:.
Закон изменения силы тока i = q0ω0e-αtcos(ω0t + π/2).
Зная, что q0 = CU0 и ω0 = , получим:
.
Следовательно, ток в цепи также совершает затухающие колебания, начальная амплитуда которых . Величина, имеющая размерность сопротивления, называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура. Волновое сопротивление контура – это индуктивное или емкостное сопротивление току резонансной частоты:
.
Кроме коэффициента затухания , используют логарифмический декремент затухания:
Величина обратная ,, определяет число периодов, за которое амплитуда колебаний убывает в е раз.
Важным параметром колебательного контура является добротность, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний.
Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности:
Энергия, теряемая в контуре за период колебаний, равна:
,
где R – активное сопротивление, определяющее полную мощность Р, теряемую в цепи:
Используя эти положения, получим выражение для добротности:
.
Вынужденные колебания в последовательном контуре
Подключим контур к источнику гармонического сигнала с амплитудой Em с начальной фазой φe
L
e C
R
Тогда дифференциальное уравнение примет вид:
Воспользовавшись методом комплексных амплитуд дифференциальное уравнение можно представить в виде:
,
откуда следует, что
Это есть закон Ома для последовательного колебательного контура. - импеданс последовательного контура. Зная, что, модуль полного комплексного сопротивления будет иметь вид:
,
а фаза: .
На рис. 1 приведена частотная зависимость реактивного сопротивления последовательного контура.
Xc X ωL
Из условия (ωL – 1/ωC) = 0
X=ωL – 1/ωC определяется резонансная
частота контура.
ωo ω
1/ωC
Рис. 1
Последовательный колебательный контур есть линейный четырехполюсник:
L
Uвх C Uвых
R
Комплексный коэффициент передачи такой системы:
.
Представив его в показательной форме, получим
.
Модуль комплексного коэффициента передачи и его фаза примут вид ,.
Выражение K=1/ωCZ – есть амплитудно-частотная характеристика, а φк(ω) – фазово-частотная характеристика контура. Для определения этих выражений найдем модуль и аргумент коэффициента передачи в узкой полосе частот в окрестностях резонансной частоты контура ωо.
Пусть ω = ωо + Δω, Δω « ωо. Введем понятие (ω – ωо)/ω = Δω/ωо = ξ – относительная расстройка контура.
Учитывая эти понятия, получим для
Полагая, что , а, получим
, откуда
Подставим Z и φz (ω) в выражение для K и φк (ω).
,
Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики последовательного колебательного контура приведены на рис. 2.
K=Qо Без учета сопротивления ис-
точника сигнала при ξ = 0
Kгр=K/(ω = ωo) модуль -
добротности. Полоса пропус-
кания контура как полосового
-гр. гр. фильтра при
к определится выражением
ξ
-π/2
Рис. 2.
Или, переходя к частоте f, выражение для полосы пропускания примет вид Δfпр = fo / Qo.
В реальной ситуации сопротивление генератора Rг не является нулевым и внесет вклад в формулу добротности:
.
Следовательно, для получения или сохранения высокого значения добротности системы сопротивление генератора не следует делать большим.