Тема 2. Графическое решение задач линейного программирования

Задание. Построить математическую модель задачи и решить ее графически.

13. На предприятии создан цех для использования материалов, остающихся от основного производства, который должен освоить производство двух видов шкафов – канцелярских и книжных. Предприятие располагает месячным фондом рабочего времени 1320 человеко-часов. На изготовление канцелярского шкафа затрачивается 6, а книжного – 10 человеко-часов. Стоимость канцелярского шкафа 4 т.руб., а книжного – 5 т.руб. Цех располагает ежемесячно 94 кубическими метрами древесины и 90 квадратными метрами стекла. На канцелярский шкаф требуется0,5 кубометра древесины, а на книжный шкаф – 0,3 кубо­метра, но для книжного шкафа нужно еще 1,5 квадратных метров стекла. Требуется составить план ежемесячного выпуска шкафов, чтобы выручка от продажи продукции была бы наибольшей.

14. Для производства двух видов продукции П₁ и П₂ предприятие использует четыре группы оборудования: строгальные станки, деревообрабатывающие станки, токарные станки и фрезерные станки. И по­лучает доход на единицу продукции в количествах, указанных таблицей.

Группы производственного оборудования	Количество единиц оборудования	Необходимое количество оборудования на один комплект продукции
		П1	П2
Строгальные	24	2	2
Деревообрабатывающие	16	1	2
Токарные	32	4	-
Фрезерные	24	-	4
Чистый доход (в т. руб. на единицу прод.)		2	3

Сколько единиц каждого вида продукции должно производить предприятие, чтобы получить наибольшую сумму дохода?

15. Предприятие изготовляет два вида продукции П₁ и П₂, которые требуют использования четырех видов сырья: древесины, кирпича, шифера и кровельного железа. Запасы каждого вида сырья ограниче­ны и выражены в некоторых условных единицах. Известно также ко­личество единиц сырья, необходимое для изготовления единицы каж­дого из видов продукции и доход, получаемый предприятием от реа­лизации одной единицы каждого вида продукции. Требуется составить такой план выпуска продукции видов П₁ и П₂, при котором доход от реализации продукции был бы наибольшим.

Вид сырья	Запасы сырья в условных единицах	Требуется на единицу продукции
		П1 (дом)	П2 (сарай)
Древесина	38 (вагонов)	2	3
Кирпич	26 (вагонов)	2	1
Шифер	30 (штабелей)	0	3
Кровельное железо	36 (штабелей)	3	0
Доход в денежных единицах		7 тысяч рублей	5 тысяч рублей

16. Предприятие для производства двух видов изделий П₁ и П₂ использует три вида технологического оборудования Т₁, Т₂, Т₃. На производство единицы изделий П₁ оборудование Т₁ используется 3 часа, оборудование Т₂ – 6 часов и Т₃ – 5 часов. На производство единицы изделий П₂ оборудование Т₁ используется 4 часа, Т₂ – 3 часа и Т₃ – 2 часа. На изготовление всех изделий предприятие может представить оборудование Т₁ не более, чем на 182 часа, оборудование T₂ – не более, чем на 204 часа и оборудование Т₃ – не более, чем на 160 часов. Прибыль от реализации единицы изделия П₁ составляет 1,2 т.рублей, а от единицы изделия П₂ – 1 т.рублей. Составить план производства изделий П₁ и П₂, обеспечивающий предпри­ятию наибольшую прибыль.

17. Швейный цех фабрики, изготавливающий пальто и костюмы распо­лагает 448 метрами костюмной ткани и 494 метрами пальтовой ткани, фондом рабочего времени машинного оборудования 480 часов и фондом работы мастеров 1200 человеко-часов. На изготовление пальто тре­буется 2,6 метра ткани, на изготовление костюма 2,8 метра. На изготовление пальто требуется 2 часа рабочего времени машинно­го оборудования и 4 часа работы мастера. На изготовление костюма требуется 1,5 часа рабочего времени машинного оборудования и 5 часов работы мастера. Прибыль цеха от реализации одного пальто составляет 900 рублей, а от реализации одного костюма 750 рублей. Составить план выпуска продукции, при котором прибыль будет наибольшей.

18. Для производства изделий А и В предприятие использует четыре типа металлических деталей М₁, M₂, M₃ и М₄. Расход деталей каж­дого типа (в штуках), запасы деталей и доход от производства еди­ницы изделий А и В даны в таблице.

Детали	Расход деталей на единицу изделий		Запасы деталей
	А	В
М1	-	2	90
М2	3	5	300
М3	6	4	420
М4	3	-	180
Доход на единицу продукции	20 руб.	15 руб.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольший доход.

19. На деревообрабатывающем предприятии из отходов основного производства решили наладить производство изделий широкого потребления – тумбочки и шкафы. Для изготовления тумбочек и книжных шкафов используются три вида сырья: древесина (м³), фанера (м²), стекло (м²). Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице.

Виды сырья	Нормы расхода сырья на изготовление единицы продукции		Запас сырья
	тумбочка	книжный шкаф
Древесина (м3)	0,3	0,4	40
Фанера (м2)	0,2	0,1	20
Стекло (м2)	-	0,1	5
Прибыль от реализации единицы продукции (в руб.)	500	400

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимум прибыли.

20. Для изготовления изделий № 1 и № 2 склад может отпустить металла марки А не более 39 кг, а металла марки В – не более 21 кг. Причем на изделие № 1 расходуется 3 кг металла марки А и 3 кг металла марки В, а на изделие № 2 – расходуется 4 кг металла марки А и 1 кг металла марки В. Требуется спланировать производство так, чтобы была обеспечена наибольшая прибыль, если отпускная цена одного изделия № 1 установлена 600 рублей, а изделия № 2 – 100 рублей, причем изделий № 1 требуется изготовить не более 6 штук, а изделий № 2 – не более 7.

22. Для производства двух видов изделий в течение ближайших шести смен предприятие может выделить 1680 кг шерсти, 1260 кг лавсана и 24 станка. Для изготовления 100 изделий первого вида в течение смены требуется 3 станка, 10 кг шерсти и 30 кг лавсана. Для изготовлении 100 изделий второго вида, в смену требуется 2 станка, 40 кг шерсти и 10 кг лавсана. Прибыль от продажи изделия первого вида равна 20 рублям, а от продажи изделия второго вида – 30 рублям. Сколько изделий первого и второго вида следует изгото­вить, используя имеющиеся возможности, чтобы прибыль от их про­дажи была наибольшей? Сколько и какого сырья останется неиспользованным?

23. Для производства двух видов изделий А и В предприятие ис­пользует три вида станков: токарные, фрезерные и строгальные. На производство единицы изделия А требуется 2 часа работы токарного станка, 4 часа работы фрезерного и 2,5 часа строгального. На производство единицы изделия В требуется 4 часа работы токарного станка, 2 часа работы фрезерного, строгальные станки не требуются. Для данной работы предприятие располагает запасами станко-оборудования по токарным станкам не более 96 часов, по фрезерным – не более 120 часов и по строгальным – не более 60 часов. Прибыль от одного изделия А составляет 1,8 т.рублей, а от изделия В – 1,2 т.рублей. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольший доход.

25. Звероферма выращивает чернобурых лисиц и necцов. На звероферме имеется 25 тысяч клеток. В одной клетке могут жить либо 2 лисицы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3 тысяч песцов. В одни сутки каждой лисе необходимо выдавать 4 единицы корма, а каждому песцу – 5 единиц. Ферма ежедневно располагает не более 155 тысяч единиц корма. От реализации одной шкурки лисицы ферма получает прибыль 300 руб., а от реализации одной шкурки песца – 400 руб. Какое количество лисиц и песцов нужно дер­жать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?

26. Для пошива курток и халатов швейный цех имеет 480 метров па­русины. На пошивку одной куртки расходуется 3 метра парусины, а на пошивку халата – 4 метра. Отпускная цена одной куртки установ­лена в 80 рублей, а халата – 100 рублей. Определить оптимальный план производства по ассортименту в форме наибольшей выручки от продажи продукции, если требуется изготовить не более 100 курток и не более 80 халатов.

27. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 240, 310 и 180 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Вид заготовки	Количество заготовок (штук) при раскрое по способу
	1	2
1	2	3
2	4	1
3	6	7
Величина отходов (см2)	160	120

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы получилось не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.