1.7. Формальные теории и исчисление

высказываний

Формальная теория это

а) Множество правильно построенных формул (ППФ), или выражений, определяющих язык теории.

б) Подмножество формул множества ППФ, называемых аксиомами теории.

в) Правила вывода, т.е. конечное множество отношений между формулами.

Доказательством называется конечная последовательность формул Ф₁,...,Ф_n, такая, что каждая Ф_i есть либо аксиома, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода.

Теоремой называется такая формула теории Ф, что существует доказательство Ф₁,...,Ф_n, где Ф_n=Ф.

Аксиоматическая теория полна, если присоединение к ее аксиомам формулы, не являющейся теоремой, делает теорию противоречивой, т.е. могут быть доказаны как Ф, так и "не Ф".

Интерпретацией формальной теории в содержательную теорию называется соответствие теорем формальной теории истинным утверждениям содержательной теории.

Пример формальной теории. Исчисление высказываний имеет

а) множество ППФ, определенное выше;

б) множество аксиом:

1. A(BA)

2. (A (BC))  ((AB)  (AC))

3. (AB)  ((AB) A);

в) правила вывода:

1. 

2.

В записи правил вывода над чертой располагаются формулы, называемые посылкой правила, из которых непосредственно следуют формулы, стоящие под чертой и называемые заключением правила.

Правило подстановки позволяет заменять в ППФ все вхождения некоторой буквы на другую букву. Правило Modus Ponens (MP) позволяет выводить формулу B из формул Ф и ФB.

Пример 1.2. Требуется доказать, что из A следует BA, т.е. A  (BA).

Доказательство. Имеем A. Тогда в соответствии с аксиомой 1 по правилу MP получаем

.

Интерпретацией исчисления высказываний является логика высказываний.

В качестве дополнительной литературы по алгебре высказываний и основам формальных теорий можно рекомендовать [7, 8, 11, 13, 14].

15