1.2. Составные высказывания
С помощью логических операций, рассмотренных в п.1.1, можно из простых высказываний строить различные составные высказывания. Например, из высказываний A, B и C можно построить составные высказывания
|
(A & B) \/ C и A [ B (A \/ C)]. |
|
Логическое значение составного высказывания зависит только от логических значений образующих его элементарных высказываний. Например, если A = 0, B = 1 и C = 0, то
|
(A & B) \/ C = (0 & 1) \/ 0 =0 \/ 0 =1 \/ 0= 1 и |
|
|
A [B (A \/ C)] = 0 [1 (0 \/ 0)] = 0 [1 0] = 0 0 = 1. |
|
Формулой исчисления высказываний называются
а) отдельные буквы, обозначающие переменные высказывания (P1, P2,...,PN);
б) выражения вида (Ф), (Ф1)&(Ф2), (Ф1)\/(Ф2), (Ф1)(Ф2), (Ф1)(Ф2), где Ф, Ф1, Ф2 - некоторые формулы.
Ф
Таблица
1.6 P1
P2
P3 (P1
&
P2)
\/
P3
0
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
0 0
1
0 1
1
1 0 1
1 1
1
1
1
1
1
1
0 1
1.3. Основные тавтологии
Закон исключенного третьего:
|
P \/ P . |
(1.1) |
Закон отрицания противоречия:
|
(P & P). |
(1.2) |
Закон двойного отрицания:
|
P P. |
(1.3) |
Следующие законы выражают свойства конъюнкции и дизъюнкции.
Законы идемпотентности:
|
(P & P) P, |
(1.4) |
|
(P \/ P) P. |
(1.5) |
Законы упрощения:
|
(P1 & P2) P1, |
(1.6) |
|
P1 (P1 \/ P2). |
(1.7) |
Законы коммутативности:
|
(P1 & P2) (P2 & P1), |
(1.8) |
|
(P1 \/ P2) (P2 \/ P1). |
(1.9) |
Законы ассоциативности:
|
[(P1 & P2) & P3] [P1 & (P2 & P3)], |
(1.10) |
|
[(P1 \/ P2) \/ P3] [P1 \/ (P2 \/ P3)]. |
(1.11) |
Законы дистрибутивности:
|
[(P1 \/ P2) & P3] [(P1 & P3) \/ (P2 & P3)], |
(1.12) |
|
[(P1&P2)\/P3][(P1\/P3)&(P2\/P3)]. |
(1.13) |
Закон де-Моргана:
|
(P1 & P2) (P1 \/P2), |
(1.14) |
|
(P1 \/ P2) (P1 &P2). |
(1.15) |
Следующие законы выражают свойства импликации и эквивалентности.
Закон тождества:
|
P P. |
(1.16) |
Закон контрапозиции:
|
(P1 P2) (P2 P1)). |
(1.17) |
Правило цепного заключения:
|
[(P1 P2) & (P2 P3)] (P1 P3). |
(1.18) |
Законы рефлексивности, симметричности и транзитивности:
|
P P, |
(1.19) |
|
(P1 P2) (P2 P1), |
(1.20) |
|
[(P1 P2) & (P2 P3)] (P1 P3). |
(1.21) |
Закон противоположности:
|
(P1P2)(P1P2). |
(1.22) |
Следующие законы выражают зависимости между основными логическими операциями.
Выражение конъюнкции через дизъюнкцию и отрицание и дизъюнкции через конъюнкцию и отрицание:
|
(P1 & P2) (P1 \/P2), |
(1.23) |
|
(P1 \/ P2) (P1 & P2). |
(1.24) |
Выражение эквивалентности через конъюнкцию и импликацию:
|
(P1 P2) [(P1 P2) & (P2 P1)]. |
(1.25) |
Выражение импликации через конъюнкцию и отрицание и через дизъюнкцию и отрицание:
|
(P1 P2) (P1 & P2), |
(1.26) |
|
(P1 P2) (P1 \/ P2). |
(1.27) |
Выражение конъюнкции и дизъюнкции через отрицание и импликацию:
|
(P1 & P2) (P1 P2), |
(1.28) |
|
(P1 \/ P2) (P1 P2). |
(1.29) |