1.5. Логическое следование
Кроме отношения равносильности, между формулами исчисления высказываний на практике приходится рассматривать отношение логического следования: формула Ф2(P1,...,PN) логически следует из формулы Ф1(P1,...,PN), или
Ф1(P1,...,PN) Ф2(P1,...,PN),
если Ф2(P1,...,PN) истинна на всех наборах значений P1,...,PN, на которых Ф1(P1,...,PN) истинна.
Логическое следование Ф1Ф2 означает, что из истинности Ф1 следует истинность Ф2, но если Ф1 ложна, то относительно Ф2 ничего сказать нельзя. Функция Ф1 в этом случае называется импликантой для Ф2. Важное значение имеет
Теорема 1.2. Ф1(P1,...,PN) Ф2(P1,...,PN) тогда и только тогда, когда импликация Ф1(P1,...,PN) Ф2(P1,...,PN) является тавтологией.
Пример 1.1. Необходимо выяснить, является ли одно составное высказывание логическим следствием другого. Возьмем высказывание: "Равные треугольники подобны". Это высказывание можно записать символически Ф1 = A B, где A = "Треугольники равны", B = "Треугольники подобны".
Рассмотрим высказывание: “Треугольники подобны только в случае их равенства", которое можно записать символически как Ф2=BA, где A и B определены выше. Является ли Ф2 логическим следствием Ф1? Для получения ответа на этот вопрос рассмотрим импликацию Ф3 = (A B) (B A) и, чтобы проверить, является ли она тавтологией, упростим эту формулу:
(AB)(BA) = (A \/ B)(B \/ A) = (A \/ B) \/ B \/ A =
(A &B) \/ B \/ A = B \/ A = B A,
т.е. Ф3 не является тавтологией, следовательно, нельзя сказать, что Ф2 является логическим следствием Ф1.
1.6. Логические функции
Логической функцией от n аргументов называют функции вида
f: {0,1}n {0,1},
т.е. областью определения логической функции являются всевозможные n–местные векторы, компоненты которых принимают значения из множества {0,1}={И,Л}, а областью значений – то же множество {0,1}. Логические функции называют также булевыми функциями, по имени англичанина Дж.Буля, разработавшего в XIX веке основы логики высказываний. Другое название логических функций – переключательные функции, поскольку они широко применяются для анализа и синтеза логических устройств из релейных (переключательных) элементов. Общее обозначение логической функции: f(x1,x2,…,xn), где x1,x2,…,xn – логические (булевы) переменные.
Дизъюнктивной нормальной формой (д.н.ф.) называется формула, представляющая логическую функцию f(x1,x2,…,xn) в виде дизъюнкции некоторого числа элементарных конъюнкций и логических переменных с отрицанием или без отрицания, причем под элементарной конъюнкцией понимается логическое произведение любого числа неодинаковых логических переменных xi (i=1,…,n) с отрицанием или без отрицания.
Пример
д.н.ф.: f(x1,x2,x3)=
.
Каждую элементарную конъюнкцию можно представить в общем виде
,
где
Элементарная
конъюнкция
называется конституентой
единицы функции
f(x1,
x2,…,
xn),
если она содержит все n
переменных функции и Cf(x1,
x2,…,
xn),
т.е. f(1,2,…,n)=1.
Конституента единицы
принимает значение 1 только на одном
наборе
(x1,
x2,
…, xn)=(1,
2,
…, n).
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (с.д.н.ф.) называется формула, представляющая логическую функцию f(x1,x2,…,xn) в виде дизъюнкции некоторого числа конституент единицы.
Конъюнктивной нормальной формой (к.н.ф.) называется формула, представляющая логическую функцию f(x1,x2,…,xn) в виде конъюнкции некоторого числа элементарных дизъюнкций и логических переменных с отрицанием или без отрицания. Под элементарной дизъюнкцией понимается логическая сумма любого числа неодинаковых логических переменных xi (i=1,…,n) с отрицанием или без отрицания.
Пример
к.н.ф.: f(x1,x2,x3)=
.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (с.к.н.ф.) называется формула, представляющая логическую функцию f(x1,x2,…,xn) в виде конъюнкции некоторого числа конституент нуля f(x1,x2,…,xn). Конституента нуля f(x1,x2,…,xn) принимает значение 0 только на одном наборе (x1,x2,…,xn).