2.2. Показательная функция

Показательная функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где и- действительное число.

Показательная функция с указанными ограничениями для основания степени определена для любых значений(). Вид показательной функции существенно зависит от основания степени. Если, то функция является убывающей (см. рис. 1). Если, то функция является возрастающей (см. рис. 2).

Рис. 1. Показательная функция .

Рис. 2. Показательная функция .

Отметим, что графики всех показательных функций проходят через одну и ту же точку с координатами .

2.3. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где и- действительное число. Она понимается как число, которое должно быть степенью числа, чтобы получить. Иначе говоря, значение функции должно быть таким, чтобы выполнялось соотношение

.

Число называется основанием логарифмической функции. Поскольку любая степень положительного числа дает также положительное число, то областью определения логарифмической функции (1) является множество положительных вещественных чисел (). Вид логарифмической функции существенно зависит от величины основания логарифма. Если, то функция является убывающей (см. рис. 1). Если, то функция является возрастающей (см. рис. 2).

Рис. 1. Логарифмическая функция .

Рис. 2. Логарифмическая функция .

Отметим, что графики всех логарифмических функций проходят через одну и ту же точку с координатами .

2.4. Тригонометрические функции

2.4.1. Функция

Аргумент называется углом. Угол определяется как отношение длины дуги части окружности, проведенной из вершины угла как из центра, к величине радиуса окружности. Угол является безразмерной величиной. Однако условно его считают выраженным в радианах. Отметим, что угол может выражаться в градусах. Для острых углов, т. е. для углов величинойфункция синуса определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция синуса определяется как ордината конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функцияимеет период, равный. График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция синуса .

Областью определения функции синуса является все множество действительных чисел ().

2.4.2. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция косинуса определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция косинуса определяется как абсцисса конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функцияимеет период, равный. График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция косинуса .

Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел ().

2.4.3. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция тангенса определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему прямоугольного треугольника или как отношение синуса к косинусу

. (1)

Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к его абсциссе или как ордината точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами . Функцияимеет период, равный. График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция тангенса .

Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция косинуса обращается в нуль, т. е. кроме

,

где ().

2.4.4. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция котангенса определяется как отношение прилежащему катета противолежащего к прямоугольного треугольника или как отношение косинуса к синусу

. (1)

Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к его ординате или как абсцисса точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси ординат и проходящей через точку с координатами . Функцияимеет период, равный. График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция тангенса .

Областью определения функции котангенса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция синуса обращается в нуль, т. е. кроме

,

где ().