ZiJw0Mg_cy.dVHY

Раздел 1. Алгебра и геометрия Лекция 2. Тема 1.3. Логика, множества, функции

1. Основные элементарные функции

1.1. Числовые функции и способы их задания. Классификация элементарных функций

Если одно числовое множество отражается в другое числовое множество , то говорят, что задана числовая функция. Функции задаются либо аналитически, либо графически либо таблично.

К основным¹элементарнымфункциямотносят следующие:

1. степенную функцию;

2. показательную;

3. логарифмическую;

4. тригонометрические;

5. обратные тригонометрические.

Элементарныефункцииполучаются из основных элементарных функций с использованием конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. Количество этих операций не должно зависеть от аргумента.

К алгебраическимфункциямотносят следующие:

1. целую рациональную функцию или многочлен;

2. дробную рациональную;

3. иррациональную функцию, т.е. ту, в которой аргумент или выражение ее содержащее, возводится в нецелую степень.

К трансцендентнымфункциямотносят все неалгебраические функции.

Замечания.

1. Примеры числовых множеств

- множество натуральных чисел.

- множество целых чисел.

- множество целых неотрицательных чисел.

- множество рациональных чисел.

- множество действительных чисел.

2. Свойства множества действительных чисел

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для двух любых различных чисел иимеет место одно из двух соотношенийлибо.

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числамии() содержится бесконечное множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству

.

3. Множество непрерывное.

Пусть множество разбито на два непустых подмножестваитаких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чиселвыполняется неравенство.

Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству

().

Оно отделяет числа из классов и. Числоявляется либо наибольшим числом в классе(тогда в классенет наименьшего числа) либо наименьшим числом в классе(тогда в классенет наибольшего числа).

1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически

Функция называется явнозаданной, если действия, выполняемые для ее вычисления, указаны и можно их осуществить для.

Функция может быть задана неявно. Форма ее задания в имеет вид

, (1)

где - символ функции двух аргументов, заданной явно.

Например,

.

Теперь нет явного правила вычисления функции по ее аргументу. Однако, в этом случае оно может быть легко получено в виде

или.

Под неявно заданной функцией

понимается такая, подстановка которой в уравнение (1) обращает его в тождество

.

Зависимость отможно задать с помощью третьей переменнойв виде

,

где .

Этот способ задания функции называется параметрическим. В частности приполучается- явный способ задания функции.

2. Графики элементарных функций

2.1. Степенная функция

Степеннаяфункциязадается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где - действительное число².

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени. Например, если- целое положительное (натуральное) число, то областью определения степенной функции является множество действительных чисел. В этом случае получается следующий ряд степенных функций:,,… Степенные функции с нечетными показателями степени являются нечетными, а с четными показателями степени – четными. Графики некоторых нечетных функций приведены на рис. 1, а четных – на рис. 2.

Рис. 1. - сплошная линия,- пунктирная линия

Рис. 2. - сплошная линия,- пунктирная линия

Если - целое отрицательное число, то в этом случае степенная функция определена для всех действительных значений, кроме. Если степеньявляется четным отрицательным числом, то степенная функция является четной. В противном случае она является нечетной. Эти утверждения проиллюстрированы на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Степенная функция

Рис. 4. Степенная функция

Среди степенных функций с показателем степени, являющимся рациональной дробью рассмотрим функцию . Поскольку рассматривается арифметическое значение корня, то областью определения функции будет множество неотрицательных действительных чисел (). График этой степенной функции представлен на рис. 5.

Рис. 5. Степенная функция

График функции представлен на рис. 6. Областью определения функции является вся действительная ось.

Рис. 6. Степенная функция