2.Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.

Определение предела может быть обобщено на случай, когда неограниченно возрастает (соответственно убывает), в предположении, что область определения функции не ограничена. Это позволяет выяснить характер поведения функции на бесконечности.

Определение 3. Число А называется пределом функции при, (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, членыкоторой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Определение 4. Пусть область определения функции не ограничена сверху (снизу). Число А называется пределом функции при, (), если для любогосуществует такое, что для всех() выполняется.

Обозначение: (). (3)

Замечание 1. Символическая запись определения предела функции привыглядит следующим образом:

.

Замечание 2. Так как неравенство равносильно неравенствам

, то последняя запись означает, что приграфик функциидля всех, превосходящих, содержится в полосе, ограниченной прямыми,. В этом заключается геометрический смысл предела функции при.

Иногда важно знать поведение функции справа (соответственно слева) от точки , так что целесообразно ввести следующие определения.

Определение 5. Число А называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке, если для любой сходящейся кпоследовательности, члены которой больше (меньше), соответствующая последовательность значений функциисходится к числу А.

Обозначение: (). (4)

Замечание. Запись () означает, что аргументстремится ксправа (слева), то есть оставаясь все время больше (меньше).

Определение 6. Число А называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке, если любого числасуществует числотакое, что для всех, удовлетворяющих неравенству(), выполняется.

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.

Можно доказать, что функция имеет в точкепредел тогда и только тогда, когда в точкесуществуют пределы этой функции, как справа, так и слева, и они равны.

3. Бесконечно-малые функции и их свойства.

Определение 7.Функцияназываетсябесконечно малой в точке ,если для любогосуществуеттакое, что для всех,ивыполняется, то есть

.

Замечание.Одна и та же функция при определенных значенияхxявляется БМФ, а при других значениях – не является. Так как, тоесть бесконечно малая функция при, ине является БМФ при, так как.

Замечание.Аналогично можно дать определения бесконечно малых функций при,,,,.

Приведем некоторые теоремы о бесконечно малых функциях, относящиеся к важным свойствам БМФ.

Теорема 1.(Основная теорема о бесконечно малых функциях).

Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой функции.

Теорема 2.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций приесть бесконечно малая функция.

Теорема 3.Произведение ограниченной функции прина бесконечно малую приявляется бесконечно малой функцией при.

Теорема 4.Произведение конечного числа бесконечно малых функций приесть бесконечно малая функция.

Важную роль в математическом анализе играют бесконечно большие функции.

Определение 8.Функцияназываетсябесконечно большой(ББФ) при, если для сколь угодно большого числасуществуеттакое, что для всех,таких, что привыполняется.

Обозначение .

Замечание.Аналогично можно сформулировать определения бесконечно больших функций при,,,,.

Свойства бесконечно больших функций идентичны свойствам бесконечно малых функций.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями имеется следующая связь:

или.

Доказательство следует из определения бесконечно малых (бесконечно больших) функций. (Рекомендуется доказать самостоятельно). Такая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями позволяет использовать естественную символическую запись, используемую для сокращения: для любого положительного числа а>0 пишут

Отметим, что на бесконечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над пределами, не всегда переносятся.

Например, если

,

то и

С другой стороны ничего нельзя утверждать о наличии или отсутствии предела разности функций, то есть

.

В таких случаях говорят о наличии неопределенности вида ∞─∞.