1.Определение функции, ее свойства.

Определение 1.Переменная величинаyназываетсяфункциейпеременной величины x,если каждому значению переменнойx из некоторой областиDпо определенному законуf ставится в соответствие единственное значение переменнойyиз областиE.

В этом случае записывают . Переменнаяxназываетсянезависимой переменнойилиаргументом,y-зависимой переменнойилифункцией,f- характеристикой функции.

Определение 2. МножествоDзначенийx, при которых функция определена, называется областью определения функции и обозначаетсяили, множествоEзначений, которые принимает функцияy, называется областью изменения функции и обозначается.

Если функция обозначена через f(x), то через f(x₀)обозначают то значение функции, которое соответствует значению аргументах₀. Для обозначения характеристики функциональной зависимости используют различные буквы и символы:sin , lg , arccos ,lntg⁴и т.д.

Пример 1.a) функцияимеет своей областью определения множество значений.

б) областью изменения функции является отрезок, то есть.

Существует три основных способа задания функций.

1. Аналитический (зависимость между переменными определяется с помощью формулы, в качестве примера приведем формулу ).

2. Табличный (соответствующие значения аргумента и функции вносятся в таблицу, примером табличного задания функций могут служить таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и так далее).

3. Графический (соответствие между переменными xиy задается посредством графика). Графический способ задания нашел широкое применение в различных самопишущих технических приборах.

2. Элементарные функции.

К основным элементарным функциям относятся:

1) константная функция ,;

2) степенная функция ,х>0 (- вещественное число);

3) показательная функция ,;

4) логарифмическая функция ,;

5) тригонометрические функции: ,,,;

6) обратные тригонометрические функции: ,,,.

Определение 3.Классэлементарных функцийсоставляют все функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий, а также суперпозицией (наложением) функций. Например,

;.

Таким образом, функция считается заданной, если указано правило, следуя которому для каждого заданного значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.

Определение 4. Функцияf(x)называетсявозрастающей, если из. Функцияf(x)называетсястрого возрастающей, если из.Функцияf(x)называетсяубывающей, если из. Функцияf(x)называетсястрого убывающей, если из. Возрастающие и убывающие функции называютсямонотоннымифункциями, строго возрастающие и строго убывающие функции называютсястрого монотоннымифункциями.

3. Предел функции в точке.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой этой точки (в так называемой проколотой окрестности точки).

Определение 1.Число А называется пределом функциив точке(при), если для любой сходящейся кпоследовательности значений аргументатакой, что,, соответствующая последовательность значений функциисходится к числу А.

Обозначение: или. (1)

Замечание 1.Так как числовая последовательность имеет только один предел, то и функцияможет иметь в точкетолько один предел.

Замечание 2.Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его называют еще определением «на языке последовательностей» (определение по Гейне).

Определение 2.Число А называется пределом функциив точке, если для любого числасуществует зависящее от него числотакое, что для всех,, удовлетворяющих неравенству, выполняется.

Обозначение: илипри. (2)

Замечание 1. Используя символы математической логики, можно записать:

.

Замечание 2. Второе определение называют также определением «на языке » (определением по Коши).