Выполнение вычитания чисел позиционных систем

Вычитания операция обратная сложению, используется для уменьшения основного операнда (уменьшаемого) на значение второго операнда (вычитаемого).

Вычитание – нахождение разности между уменьшаемым и вычитаемым.

Количество операндов при вычитании всегда равно 2. Методика выполнения, для варианта с уменьшаемым, большим вычитаемого:

• записать вычитаемое под уменьшаемым поразрядно, заполнив недостающие разряды 0;

• операцию вычитания производить поразрядно, начиная с младшего;

• если цифра уменьшаемого больше цифры вычитаемого, то их разность записать в этом же разряде;

• если цифра уменьшаемого равна цифре вычитаемого, то разность есть 0, записанный в этом же разряде;

• если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то занять единицу из смежного, старшего разряда, а уменьшаемое в рассматриваемом разряде увеличится на основание системы;

• если смежный разряд нулевой, то занять единицу из ближайшего, старшего ненулевого разряда, при этом его значение уменьшится на единицу, в промежуточных, нулевых разрядах запишутся старшие цифры системы, а уменьшаемое увеличится на основание системы.

Примеры:

1. 6₈– 2₈

2. 10₈– 2₈

3. 1001₈– 2₈_1001₈

2₈

777₈

При необходимости проверки результата вычитания используется операция сложения, когда полученная разность складывается с вычитаемым для получения уменьшаемого.

Выполнение операции умножения (деления)

Операция умножения или деления также могут выполнятся по собственным уникальным правилам, при этом их анализ показывает, что умножение есть производная от сложения, а деление от вычитания. Наиболее наглядно это представляется в двоичной системе счисления.

Выполнение арифметических действий в двоичной системе

Примеры сложения и вычитания в различных позиционных системах позволяют сделать вывод об их относительной несложности. Лидером по критерию «эффективность и простота» является двоичная система счисления. Это происходит по тому, что количество возможных комбинаций выполнения действий в одном разряде минимально. Сгруппируем их в одну таблицу:

Сложение	Вычитание	Умножение

Рассмотренный вариант реализации умножений для двоичной системы не может полностью описывать умножение в десятичной системе, т.к. в любой из систем с большим количеством цифр существенно увеличивается количество возможных комбинаций в каждом разряде. Поэтому намного удобнее использовать схему превращения умножения в последовательность сложений со сдвигом вправо, при этом количество слагаемые на каждом шаге не превышает 2. Выполним примеры реализации традиционного умножения для чисел двоичной системы.

Примеры:

110110,11₂

101,1₂

00011011011

00110110110

00000000000

11011011000

100101101,001₂

Методика умножения с последовательным сложением:

110110,11₂

101,1₂

100101101,001₂

Анализ выполнения примера показывает, что второй метод эффективнее и надежнее. Его и использует ЭВМ в расчетах над числами по методике: преобразовать в двоичные, а затем выполнить над ними операцию.