2.1. Анализ формы статистической связи количественных показателей

2.1.1. Анализ парной корреляции

Анализ парной корреляции заключается в определении влияния вариации факторного признака x на результативный y на основе установления аналитической формы связи с использованием различных математических функций

y_x=f(x,а₀,а₁, ... ,а_n),

где y_x – выравненное (аппроксимированное, теоретическое) значение результативного признака; а₀,а₁, ... ,а_n – параметры уравнения.

При изучении связи социально–экономических явлений применяются линейные и различные нелинейные зависимости:

линейная y_x = а₀+а₁x ;

параболическая y_x = а₀+а₁x+а₂x² ;

гиперболическая y_x = а₀+а₁1/x ;

степенная ;

показательная y_x = а₀а₁^x ;

логарифмическая y_x = а₀+а₁ lgx

и другие.

Анализ связей количественных

признаков

Парная связь Множественная связь

Анализ формы связи Анализ степени тесноты

связи

Линейные связи Нелинейные связи

Коэффициент Индекс детерминации

детерминации

Коэффициент Индекс корреляции

корреляции

парный

множественный

частный

Рис.2.1. Содержание анализа связей количественных признаков

Выравнивание эмпирических (опытных) данных осуществляется методом наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных y_x .

.

Частные производные функции S по а₀ , а₁, ..., а_n приравниваются нулю

Постоянные коэффициенты а₀, а₁, ... , а_n определяются из решения следующей системы уравнений:

Если с увеличением факторного признака результативный признак равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой

y_x = а₀+а₁x = f(x,a₀,a₁).

Частные производные функции f по a₀ и a₁

Для определения параметров а₀ и а₁ на основе требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений

или после преобразований

где x_i, y_i – индивидуальные значения соответственно факторного и результативного признаков; а₀, а₁ – параметры уравнения прямой (уравнения регрессии).

Коэффициент регрессии а₁ показывает, к какому изменению средней величины результативного признака приводит изменение факторного признака на одну единицу.

Из решения системы уравнений получаются следующие параметры уравнения регрессии:

Если связь между признаками нелинейная и с возрастанием факторного признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, то корреляционная зависимость может быть выражена параболой второго порядка

y_x = а₀+а₁x+а₂x² .

Частные производные функции f в i–й точке

Значения праметров параболы а₀, а₁, а₂ определяются из решения системы нормальных уравнений

Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает (или убывает) не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы

y_x = а₀+а₁1/x .

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений

Полученную систему уравнений удобнее решать, произведя замену переменной 1/x = z :

Если связь между признаками слабая нелинейная, то для характеристики этой связи в экономических исследованиях применяется степенная функция

.

Для определения праметров производится логарифмирование степенной функции

Для определения параметров логарифмической функции строится система нормальных уравнений по способу наименьших квадратов

При статистическом анализе нелинейной корреляционной связи возможно применение уравнения регрессии показательной функции

y_x = а₀а₁^x.

Для решения уравнения производится его логарифмирование

С учетом требований метода наименьших квадратов составляется система нормальных уравнений

При статистическом анализе криволинейной связи может применяться логарифмическая функция

y_x = а₀+а₁ lgx.

Параметры логарифмической функции определяются из системы нормальных уравнений, отвечающих требованию метода наименьших квадратов:

Аналогичным образом с использованием метода наименьших квадратов определяются параметры любой формы связи между результативным и факторным признаками.

При численности единиц совокупности до 30 возникает необходимость проверки параметров уравнения регрессии на их типичность, не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин. Для проверки на типичность параметров уравнения регрессии используется t – критерий Стьюдента.

Для выбора оптимальной математической функции, адекватно отражающей эмпирические данные, рекомендуется исходить из качественного анализа показателей, определяющих изменение результативного признака. Сложность экономических явлений не всегда позволяет выявить все влияющие факторы, учесть их взаимодействия друг с другом. На основе только качественного анализа не удается получить надежные выводы о форме связи.

При подборе адекватной математической функции важное значение имеет остаточная дисперсия результативного признака

где – соответственно эмпирические (фактические) и выравненные значения результативного признака.

Чем меньше остаточная дисперсия, тем лучше подбор линии регрессии, так как эта линия должна проходить в максимальной близости от эмпирических данных.

Для оценки адекватности уравнения регрессии также может использоваться показатель средней ошибки аппроксимации

где y_i – y_xi – линейные отклонения абсолютных величин эмпирических и выравненных точек регрессии.