1.2.Разработка имитационной модели с учетом масштабов переменных модели

В процессе разработки и исследования систем довольно часто возникает необходимость изменения масштабов как самих фазовых координат (в данном случае ), так и времени, в течении которого развивается процесс (идет речь о моделировании в ускоренном, замедленном и в натуральном масштабах времени). Это связано с тем , что некоторые исследуемые процессы могут протекать настолько быстро (например, процессы в камере двигателя внутреннего сгорания) , что при моделировании в натуральном масштабе времени трудно рассмотреть все интересующие детали исследуемого процесса. В этом случае применяют моделирование в замедленном масштабе. И наоборот, иногда реальные процессы протекают настолько медленно, что возникает необходимость ускорять исследуемые при моделирование процессы (например, процессы, сопровождающие жизнь и цветение растений).

Преобразование исходной математической модели с целью проведения исследований в удобном или допустимом диапазоне изменения переменных (в рассматриваемом примере это переменные и) будем называть масштабированием уравнений модели.

Масштабирование выполняется по следующей методике.

1)В общем случае масштаб той или иной физической переменной определяется как отношении максимальных допустимых значений моделируемой переменнойв данной модели к максимальному значению физической переменной, которое имеет место в реальном объекте или процессе. Этот масштаб вычисляется по выражению

(6)

Из этого последнего выражения следует, что физическая переменная может быть заменена на переменную модели по выражению

(7)

2)Для разработки модели, работающей в измененном масштабе времени (замедленном или ускоренном) по отношению ко времени протекания реального процесса необходимо определить или назначить новый масштаб времени по выражению

(8)

В случае необходимости изменить(ускорить или заменить) время развития исследуемых процессов по отношению к реальному вычисляется по выражению (8). Затем время в выражении ( 5 ) время физическое заменяется на время модели, используя выражение

(9)

Пример 2

Решим, в качестве второго примера, задачу разработки имитационной модели , которая работала бы в замедленном масштабе времени .по сравнению с процессами в реальном объекте. Допустим, что объект по-прежнему задан дифференциальным уравнением (3) или преобразованным его вариантом (4).

Выполним масштабирование всех переменных, используя выражения (6) и (8) для конкретных переменных(и) уравнения (4). Как отмечалось раньше, под масштабированием понимается определение масштабов (коэффициентов) , связывающих численные значения моделируемых в данной модели переменныхи численные значения физические переменные, которые имеют место в реальном объекте или процессе. Эти масштабы для рассматриваемой в примере 2 задачи вычисляются по выражениям

(10)

(11)

(12)

(13)

Соответствующие физические переменные и переменные модели после введения масштабов оказываются связанными следующими соотношениями

(14)

(15)

(16)

(17)

Преобразуем дифференциальное уравнение (4) объекта в моделируемое , воспользовавшись выражениями (14) - (17) и исходными данными примера 1:

(18)

Используя соотношения (14) –(16) преобразуем (18) в

(19)

Или

(20)

Теперь надо отмасштабировать еще и время,заменив время физическое на время модели согласно (17)

Упрощая это выражение получим окончательное для моделирования

(21)

Теперь выбрав те или иные значения масштабов получим желаемый диапазон изменения переменных () в модели , а также ускоренное () или замедленное () моделирование.

Поскольку в решаемом примере 2 предлагается выполнить замедленное моделирование ( пусть ), а требования к диапазону изменения переменныхне сформулированы, будем считать, для простоты, что желаемый диапазон изменения переменных в модели и в объекте совпадают, то есть.

Тогда выражение (21) превратится в следующее

(22)

Построим имитационную модель, соответствующую выражению (22). Для этого воспользуемся системой моделирования динамики объектов Simulink, входящей в пакета MATLAB.

Выбрав начальные условия снова в виде: , и выставив их на соответствующих интеграторах, получим приведенную ниже структуру и параметры модели,

Рисунок 3- Имитационная модель для замедленного исследования динамики системы с параметрами, приведенными в примере 2.

Динамика системы приведена здесь же на рисунке 3.

Как видно из рисунка 3, время переходного процесса увеличилось в 10 раз по сравнению с рисунком 2(процессы замедлились в 10 раз), а характер самой переходной характеристики остался прежним.