Лабораторная работа №7

Исследование поведения объекта, заданного дифференциальным уравнением.

Цель работы – методом имитационного моделирования выполнить анализ динамики объекта, заданного дифференциальным уравнением

1.Основные теоретические сведения

1.1.Общие положения

Для описания объекта чаще других используются следующие два типа его математического задания:

- 1) дифференциальные уравнения;

2) передаточные функции.

В данной лабораторной работе рассматривается математическое описание объекта в виде дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называют уравнения вида

, (1)

содержащее неизвестную функцию у(х), производные от этой функции у(х) и аргумент х.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, то есть имеет вид

(2)

Если , то есть правая часть равна нулю, то дифференциальное уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

В зависимости от того, являются ли коэффициенты постоянными величинами или функциями аргумента

дифференциальные уравнения называют с постоянными или переменными коэффициентами соответственно.

Функция называется решением дифференциального уравнения, если после подстановки ее и ее производных в исходное дифференциальное уравнение, последнее обращается в тождество.

Если независимой переменной является время, то система, описываемая дифференциальным уравнением (1) или (2) называется динамической системой. Соответственно, исследование процессов в такой системы называется исследованием динамики системы.

Как известно, решение дифференциального уравнения аналитическим путем не всегда возможно, что касается их решения с помощью имитационного моделирования , оно прекрасно приспособлено для решения

дифференциальных уравнений.

Для превращения заданного дифференциального уравнения (1) или (2) в такое, которое можно моделировать необходимо иметь следующие данные:

- само дифференциальное уравнение и значения его коэффициентов ,

- начальные значения переменных дифференциального уравнения,

- заданные возмущающие воздействия (в случае неоднородного дифференциального уравнения).

Для имитационного моделирования , которое рассматривается в данной лабораторной работе, возможны два основных метода решения дифференциального уравнения. Один из них основан на применении дифференцирующих устройств, так как требует повышения порядка производных. Второй метод – метод понижения порядка производной. В силу того, что дифференцирующие устройства усиливают помехи (шумы), первый метод практически никогда не применяется. Далее при решении дифференциальных уравнений для анализа динамки объектов будем рассматривать метод понижения порядка.

В качестве примера , выполним исследование динамики объекта , заданного линейным дифференциальным уравнением второго порядка при этом используем метод понижения порядка.

ПРИМЕР 1

Дано математическое описание некоторой системы в виде дифференциального уравнения

, (3)

где - постоянные числа,некая вынуждающая функция.

Приведем дифференциальное уравнение к виду, удобному для моделирования, то есть производную высшего порядка приравняем к остальной части (3). Получим

(4)

Получив выражение (4) будем считать , что если бы мы знали слагаемые левой части, мы бы знали вторую производную . С другой стороны, если знать вторую производную, то легко , после ее интегрирования, можно получить и первую производнуюи саму функциюпо следующей схеме имитационного моделирования

Н.у.1 Н.у.2

+

-

-

Рисунок 1- Имитационная модель для решения дифференциального уравнения (3)

На рисунке 1 обозначено:

Для большей наглядности решим рассмотренный выше пример при следующих конкретных исходных данных:

Вычислим значения коэффициентов

С учетом приведенных исходных данных и вычисленных коэффициентов К1, К2, и К3 уравнение (4) превращается в следующее

(5)

Построим имитационную модель, соответствующую выражению (5). Для этого воспользуемся системой моделирования динамики объектов Simulink, входящей в пакета MATLAB.

Выбрав начальные условия в виде: , и выставив их на соответствующих интеграторах, получим приведенную ниже структуру и параметры модели,

Рисунок 2- Имитационная модель для исследования динамики системы в реальном масштабе времени с параметрами, приведенными в примере 1.

Динамика системы приведена здесь же на рисунке 2.