2.3. Плоская система произвольно расположенных сил.

Задача приведения системы произвольно расположенных сил к простейшему виду связана с необходимостью их переноса по плоскости параллельно самим себе. Рассмотрим предварительно теорему о возможности такого переноса.

Теорема о параллельном переносе силы (теорема Пуансо).

Пусть в точке А тела приложена сила , которую требуется перенести самой себе в точкуВ (рис. 16,а). Приложим в точке В уравновешенную систему из двух сил и, равных и параллельных(рис. 16,б). Тогда силуможно считать силой, перенесенной в точкуВ, а силы и, образуют пару с моментом. Таким образом, состояние, изображенное на рис. 16,в, соответствует первоначальному состоянию тела.

Итак, не изменяя действия силы на тело, ее можно перенести в любую точку параллельно самой себе, добавив пару сил, момент которой равен моменту заданной силы относительно новой точки приложения (рис. 16,в).

1. Приведение плоской системы сил к данной точке.

Пусть на твердое тело действует произвольная плоская система ,(рис. 17,а).

Выберем произвольную точку О – центр приведения. Перенесем все силы в точку О, добавляя при этом соответствующие пары. В результате приведения получим систему сил ,,…и систему пар,,…,(рис. 17,б).

Силы, приложенные в точке, можно заменить одной силой, равной их векторной сумме, - главным вектором (рис. 17,в)

(8)

Моменты, действующие на тело, можно заменить одним моментом, равным их алгебраической сумме, - главным моментом:

(9)

Таким образом, произвольную плоскую систему сил всегда можно заменить главным вектором и главным моментом (рис. 17,г).

2. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

Произвольная плоская система сил находится в равновесии, если главный вектор и главный момент этой системы относительно любой точки равны нулю, т.е.

, (10)

Первое равенство эквивалентно двум равенствам:

;

Итак, для равновесия тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра равнялась нулю. Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил:

;;(11)

Возможны и другие формы записи уравнений равновесия:

; ;(12)

где ось не должна быть перпендикулярна линииАВ. Или

; ;(13)

где точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.

3. Деформации и напряжения при растяжении (сжатии).

3.1 Общие сведения.

Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает только один внутренний силовой фактор – продольная растягивающая (сжимающая) сила.

Рассмотрим случай осевого (центрального) растяжения или сжатия (рис. 22,а). Для определения внутренних усилий (продольных сил) применим метод сечения. Условимся считать продольную силу положительной (т.е. присвоим знак «плюс»), если она растягивает стержень, и отрицательный, если сжимает.

Проведем сечение, например 1-1, и рассмотрим равновесие нижней отсеченной части. Воздействие верхней отброшенной части на нижнюю заменим продольной силой и предварительно направим ее от сечения, т.е. предположим, что сила является растягивающей. Составим уравнение равновесия. Проецируем все силы, действующие на нижнюю часть, на направление, параллельное оси стержня. Приравнивая сумму проекций сил нулю, получаем (рис. 22,б).

, откуда (14)

Аналогично найдем силу в сечении 2-2:

; (15)

Знак «минус» показывает, что направление силы следует изменить на обратное, т.е. продольная сила будет в данном случае не растягивающей, а сжимающей.

Учитывая, что при деформации растяжения (сжатия) в поперечном сечении действуют нормальные напряжения , которые по его площади распределены равномерно, имеем

(16)

где - площадь поперечного сечения стержня.

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т.е. при растяжении считают напряжения положительными, а при сжатии – отрицательными.

Для многих материалов при нагружении до определенных пределов существует следующая зависимость между отдельным удлинением стержня и напряжением:

(17)

где (18)

- абсолютная деформация стержня;

- длина стержня до деформации;

- длина стержня после деформации.

Формула (17) показывает, что линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям, и выражает закон Гука для центрального растяжения (сжатия).

В формуле (17) - коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода. Он характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию. По физическому смыслу модуль упругости - напряжение, возникающее в стержне, когда его относительная деформация.

Определив напряжения в сечениях растянутого (сжатого) стержня по формуле (17) и задав значение допускаемого напряжения, можно произвести оценку прочности стержня. Для этого необходимо фактические напряжения в сечениях стержня сопоставить с допускаемыми:

(19)

где - допускаемые напряжения при растяжении (сжатии).

Неравенство (19) называется условием прочности при растяжении (сжатии).

Условие прочности должно соблюдаться для всех сечений рассчитываемого элемента конструкции, поэтому под следует понимать наибольшее расчетное напряжение, т.е. напряжение в опасном сечении.

При проектном расчете по известным нагрузкам и допускаемому напряжению из неравенства (19) определяют требуемую площадь сечения стержня :

(20)