6. Сложность экстремальных задач

Под сложностью экстремальных задач понимается нижняя граница трудоемкости всевозможных методов, гарантирующих заданную погрешность решения любой задачи класса экстремальных задач. Соответствующие формальные определения таковы.

Пусть - некоторое семейство функций на; каждую функцию семейства отождествим с «задачей»:. Семейства, для которых все задачиразрешимы, называются классами задач.

Пусть - класс задач. Дляипогрешность по функционалу точкив качестве приближенного решения задачиопределяется как.

Методом первого порядка решения задач класса называется процедура, работающая по шагам. На первом шаге вычисляютсяв некоторой точке. На втором – в точкеи т.д. Точкаможет при этом зависеть от накопленной к соответствующему шагу информации. В некоторый момент процедура останавливается и формирует результат своей работы на. Соответствующая стратегия поведения – метод решения задач из- ест набор правил формирования очередных точек, момента остановки и результата в функции от накопленной к соответствующим шагам информации. При этом на составляющие метод правила не налагается никаких ограничений, кроме «физической реализуемости». Правила, применяемые на шаге, имеют в качестве аргументов.

Пусть - метод первого порядка решения задач из. Если, то, решая, либо останавливается после некоторого числа шагов, и в этом случае определен результатпримененияк, либо не останавливается. В последнем случае считается. Величины,называются соответственно трудоемкостью и погрешностью методана классе.

Сложностью класса называется функция.

Приведем двусторонние оценки сложности наиболее часто рассматриваемых в теории оптимизации классов задач. Сопоставление этих оценок с оценками трудоемкости тех или иных процедур, решающих соответствующие задачи с заданной погрешностью, позволяет судить о возможностях потенциального улучшения процедур. Ниже - абсолютны постоянные.

Сложность классов гладких многоэкстремальных задач. Пусть - натуральное число и- класс всехраз непрерывно дифференцируемых функций на, равныхвне единичного шарас не превосходящими по модулю первыми частными производными до порядкавключительно. Сложность описанного класса задач удовлетворяет неравенствам

с некоторыми положительными постоянными . Приоказывается. Видно, что многоэкстремальные задачи сколь-нибудь заметной размерности не допускают методов приближенного решения с приемлемыми гарантиями трудоемкости.

Рассмотрим сложность задач выпуклой минимизации большой размерности. Пусть , а- класс всех выпуклых непрерывно-дифференцируемых функцийна-мерном евклидовом пространстве, таких, чтодостигает минимума в шаре с радиусомс центром в 0 и градиентгельдеров с показателем и константой. Для сложности описанного класса задач справедливы неравенства,и.

Рассмотрим сложность задач минимизации сильно выпуклых функций большой размерности. Пусть , а- класс всех непрерывно-дифференцируемых функцийна, таких, чтосильно выпукла с модулем сильной выпуклости, то есть для любых, и. Еслидважды непрерывно дифференцируема, то первое из условий означает, что собственные числагессиана лежат в отрезке. Для сложности описанного класса задач при любомсправедливы неравенства,.

Рассмотрим асимптотику сложности общих выпуклых задач по погрешности. Пусть ,- выпуклое компактное тело в, а- класс всех выпуклых задачтаких, чтои. Пусть далее, вможно указать два подобных с коэффициентомпараллелепипеда с соответственно параллельными ребрами, из которых меньший содержится в, а больший содержит(это заведомо можно сделать при). Тогда сложностьклассадопускает оценку снизу,. Кроме того, всегда справедлива оценка сложности сверху,.

1от греческого praxis, родительный падеж praxeös – дело, деятельность, logos – слово, учение.

2Новожилов В. В. Вопросы развития социалистической экономики, М., 1972; Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании. М., 1972.

3Предикат – функция, отображающая значения аргументов в высказывания об этих значениях.

4 от латинского optimum – наилучшее.

5 синонимы – оптимизируемая функция, критериальная функция, функция качества, показатель качества, критерий оптимальности.

6Партисипативное управление (от английского participation – участие, совместная деятельность), реализует принцип участия в разработке управленческого решения всех заинтересованных подразделений (работников) организации (непосредственных исполнителей, заказчиков, смежников). В современном менеджменте партисипативное управление считается эффективным средством повышения производительности труда, качества принимаемых решений, более успешной их реализации (по затратам, срокам, надежности), улучшения взаимопонимания и «психологического климата» в коллективе.