Базовые вопросы

1. Сформулируйте законы динамики.

2. Сущность первой задачи динамики и порядок ее решения.

3. Сущность второй задачи динамики и порядок ее решения.

4. Что понимается под начальными условиями движения точки?

5. Запишите дифференциальные уравнения дви­жения материальной точки.

Задача . Груз 3 массы т поднимается по наклонной плоско­сти, образующей с горизонтом угол , при помощи лебедки, со­стоящей из пары зубчатых колес 7, 2 и барабана радиусаr₂ (рис. 1.). Колесо 1 приводится во вращение электромотором. Барабан жестко скреплен с колесом 2. Определить натяжение троса, пренеб­регая его деформацией, если колесо 1 вращается с угловым ускоре­нием . Радиусы колесR₁ и R₂. Коэффициент трения груза о плос­кость равен f. Массой троса пренебречь.

Рис. 1.

Решение. Определим ускорение груза. Поскольку деформацией троса пренебрегаем, то

,

где - угловое ускорение барабана.

Однако

,

поэтому

.

Полагая груз материальной точкой, освободим его от связей, за­менив их действие силами реакции. Изобразим силы, действующие m груз (рис. 2): силу тяжести , реакцию троса, нормальную реакцию плоскости и силу трения .

Составим дифференциальные уравнения движения груза в про­екциях на оси координат:

Из первого уравнения . Следовательно,

.

Рис. 2

Из второго уравнения систе­мы

.

Подставляя сюда значение силы трения и учитывая, что , получаем

.

Задача . При строительстве дорог в скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полкиb и скорость , с которой камень падает на нее. По участкуАВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ с. Коэффициент трения скольжения f камня на участке АВ считать постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: . Определитьb и (рис. 1).

Рис. 1

Решение. Задачу разделим на два этапа. Первый – движение камня на участке АВ, второй – движение камня от точки В до С.

Первый этап. 1. Составление расчетной схемы. Камень принимаем за материальную точку и показываем ее в текущем положении,

изображаем действующие на камень (точку) силы: вес , нормальную реакциюи силу трения скольжения(рис. 2).

Ось проводим по направлению движения камня, ось- перпендикулярно к оси.

2. Выявление начальных условий. При .

Рис. 2

3. Составление дифференциальных уравнений движения точки. Так как точка (камень) движется прямолинейно, то при направлении оси х вдоль траектории получим одно дифференциальное уравнение движения

;

сила трения

,

тогда

;

;

.

4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем:

;

;

;

;

;

;

.

5. Определение постоянных интегрирования. Подставим начальные условия, т.е. в уравнения:

;

;

.

6. Нахождение неизвестных величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования С₁ и С₂ получаем уравнение скорости и уравнение движения:

;

.

Для момента времени τ, когда камень покидает участок АВ,

,

т.е.

;

.

Умножим первое уравнение на τ/2, после этого разделим его на второе. В результате получим:

; ;

.

Второй этап: движение камня от точки В до точки С.

1. Составление расчетной схемы. Камень принимаем за материальную точку, показываем ее в текущем положении, изображаем действующую на камень силу тяжести (рис. 2). Координатные оси покажем так, как это удобно для решения задачи, в нашем случае осьх параллельна горизонтали и проходит через точку В, ось у направляем вниз через точку В.

2. Выявление начальных условий движения. При :

.

3. Составление дифференциальных уравнений движения. Так как движение точки происходит в плоскости ху, то число уравнений движения равно двум:

.

4. Интегрирование дифференциальных уравнений движения. Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:

(a)

; (б)

(в)

. (г)

5. Определение постоянных интегрирования. Подставляем начальные условия: в уравнения (а – г):

,

откуда

.

6. Нахождение искомых величин и исследование полученных результатов. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения (а –г) получаем следующие уравнения проекций скорости камня:

и уравнения его движения

.

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения:

;

–уравнение параболы.

В момент падения . Определимd из уравнения траектории:

; ;

.

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d=2,11 м.

Минимальная ширина полки

.

Используя уравнение движения камня , найдем времяТ движения камня от точки В до точки С

.

Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на оси координат:

по формуле

.

Для момента падения t=T=0,53 c

.

Скорость камня при падении равна 12,8 м/с.