III. Порядок выполнения работы

1. Нахождение закона распределения выборки:

а) в соответствии с последней цифрой номера зачетки записать массив исходных данных (табл. 11), упорядочить данные;

б) определить статистические характеристики выборки;

в) произвести проверку совместимости крайнего элемента массива с остальными значениями выборки;

г) разбить выборку на интервалы, построить гистограмму;

д) определить параметры каждого на приведенных в таблице 2 распределений, построить их график;

е) проверить гипотезы о возможности описания выборки каждым из приведенных законов;

ж) сделать вывод о законе распределения, наиболее точно описывающем экспериментальные данные.

IV. Содержание отчета о работе

Отчет о работе должен содержать исходные данные, формулы для расчетов, вычисления, рисунки, необходимые пояснения, выводы.

Лабораторная работа №2 оценка парных зависимостей

Другой задачей статистической обработки эмпирических данных является отыскание зависимости между двумя случайными величинами, одна из которых выступает в качестве аргумента, другая является функцией отклика. Эта задача решается с помощью линейного парного регрессионного анализа, в основу которого положен метод наименьших квадратов. Согласно этому методу линия регрессии, связывающая две случайные величины, строится так, чтобы сумма квадратов отклонений вдоль оси ординат была минимальной:

(8)

где - экспериментальное значение функции в точке i;

- теоретическое значение функции в той же точке.

Теоретическая линия регрессии может быть линейной

или носить более сложный характер. Задача сводится к отысканию коэффициентов регрессии a, b, что достигается путем вычисления частных производных функции (8) по параметрам a, b и получения системы нормальных уравнений (табл. 6).

Парный регрессионный анализ осуществляется в следующем порядке:

а) принимается уравнение линии регрессии;

б) вычисляется необходимые суммы для решения системы нормальных уравнений;

в) вычисляются коэффициенты регрессии;

г) определяется значение общей дисперсии

(9)

где n – число экспериментальных точек;

- среднее значение функции;

(10)

д) определяется значение остаточной дисперсии

(11)

е) вычисляется отношение дисперсий и сравнивается с табличным значением F – критерия Фишера при уровне значимости (табл. 7):

(12)

Если неравенство (11) выполняется, считается, что принятое уравнение линии регрессии статистически значимо описывает результаты эксперимента.

Таблица 6

Функции и нормальные уравнения

№	Функция	Нормальные уравнения
1
2
3
4	или
5	или

Таблица 7

Квантили распределения Фишера

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	161,45	199,50	215,71	224,58	230,16	233,99	236,77	238,88	240,54	241,88
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,35	19,37	19,39	19,40
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98

Пример 1. Построение зависимости между величиной искривления ( стержня и его длиной (.

Таблица 8
Выборка
№№ п/п
1 2 3 4	1,0 1,0 1,0 1,0	3,2 4,4 5,6 9,2	5,60
5	1,5	6,9	6,90
6 7 8	2,0 2,0 2,0	6,1 7,5 8,3	7,30
9 10	2,5 2,5	10,3 10,8	10,55
11 12	3,0 3,0	11,5 12,1	11,80
13 14	3,5 3,5	11,7 12,4	12,05
15 16	4,0 4,0	13,5 14,8	14,15
17	4,5	13,0	13,00
18 19 20	5,0 5,0 5,0	14,4 17,2 20,7	17,43
21 22 23	5,5 5,5 5,5	14,0 15,6 16,7	15,43
24 25	6,0 6,0	18,4 19,4	18,90

Сравниваются два уравнения линии регрессии: прямая линия и квадратная парабола.

а) Прямая линия

Вычисление необходимых сумм производится с помощью табл. 9. После решения системы нормальных уравнений имеем:

Среднее значение (10)

Общая дисперсия (9) (табл. 10)

Остаточная дисперсия (11)

Отношение дисперсий (12)

б) Квадратная парабола

Порядок решения аналогичный.

Таблица 9

Суммы, необходимые для вычисления коэффициентов регрессии

№№ п/п
1	1,0	5,60	1,000	1,000	1,000	5,60	5,60
2	1,5	6,90	2,250	3,375	5,063	10,35	15,53
3	2,0	7,30	4,000	8,000	16,000	14,60	29,20
4	2,5	10,55	6,250	15,625	39,063	26,38	65,94
5	3,0	11,80	9,000	27,000	81,000	35,40	106,20
6	3,5	12,05	12,250	42,875	150,063	42,18	147,61
7	4,0	14,15	16,000	64,000	256,000	56,60	226,40
8	4,5	13,00	20,250	91,125	410,063	58,50	263,25
9	5,0	17,43	25,000	125,000	625,000	87,15	435,75
10	5,5	15,43	30,250	166,375	915,063	84,87	466,76
11	6,0	18,90	36,000	216,000	1296,000	113,40	680,40
	38,50	133,11	162,250	760,375	3794,315	535,03	2442,64

Таблица 10

Вычисление дисперсии и остаточной дисперсии

№№ п/п
1	1,0	5,60	42,250	5,82	0,048	5,48	0,014
2	1,5	6,90	27,040	7,07	0,029	6,94	0,002
3	2,0	7,30	23,040	8,33	1,061	8,35	1,103
4	2,5	10,55	2,403	9,59	0,922	9,72	0,689
5	3,0	11,80	0,090	10,84	0,922	11,04	0,578
6	3,5	12,05	0,003	12,10	0,003	12,32	0,073
7	4,0	14,15	4,203	13,36	0,624	13,55	0,360
8	4,5	13,00	0,810	14,61	2,592	14,74	3,023
9	5,0	17,43	28,409	15,87	2,434	15,88	2,403
10	5,5	15,43	11,089	17,13	2,890	16,98	2,403
11	6,0	18,90	46,240	18,39	0,260	18,04	0,740
		133,11	185,577		11,785		11,393

По результатам расчетов можно заключить, что оба уравнения удовлетворительно описывают эмпирическую зависимость. За линию регрессии принимается квадратная парабола Поскольку она дает большее значение . Рис. 2. Линии регрессии а - , б -