Сопромат-учебное пособие

2q

ql2

ÝM

61

Таким образом, для заданного сечения минимально допустимый момент сопротивления одного двутавра равен половине от момента сопротивления всего сечения:

Wx1 = Wx2 = 4,54 10−5 (м3 ) = 45,4 (см3) .

По таблице прокатного сортамента (Приложение Е) определяем номер прокатного профиля, выбирая ближайший больший, и его параметры — размеры и вес погонного метра: номер профиля — 12, момент сопротивления Wx = 58,4 ñì3, высота профиля — 120 мм, ширина — 64 мм, площадь сечения — 14,7 см2, вес погонного метра — 11,5 кг. Полный вес балки 11,5·2·4l = 92 кг, площадь сечения — 29,4 см2, полный момент сопротивления сечения — Wx = 116,8 ñì4.

5. Момент сопротивления прямоугольного сечения рассчи- тывается по формуле

Для заданного соотношения сторон h/b = 120/128 = 0,94 из условия равенства моментов сопротивления рассматриваемых сечений (составного из профилей и прямоугольного) определяем его размеры:

отсюда d = 10,5 см; Fêð = 86,6 ñì2; mêð = 270161 ã ≈ 270,2 êã.

62

Результаты сравнения рассчитанных сечений приведены на рисунке 2.9, г.

Пример 9

Для балки, расчетная схема которой рассмотрена в предыдущем примере (см. рисунок 2.8), изготовленной из чугуна и имеющей составное сечение, необходимо:

1) расположив сечение рациональным образом, из условия прочности определить допускаемое значение параметра нагруз-

êè qmax;

2) вычертить сечение в масштабе и при найденном значе- нии параметра qmax построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки.

Исходные данные: параметр длины l = 0,5 м; толщина стенки а = 16 мм; нормативные коэффициенты запаса — для растяжения nð = 3,0, для сжатия nñ = 2,5. Остальные данные приведены в таблице 2.10.

Решение

1. Эпюры поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭМ показаны на рисунке 2.9, б. Максимальный момент в бал-

ке равен Mmax = 4,36ql2.

2. При выборе рационального расположения сечения исходим из следующих соображений:

63

а) при изгибе балок рациональным является расположение сечения таким образом, чтобы наибольший его размер был в плоскости изгиба;

б) для материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, необходимо располагать сечение таким образом, чтобы максимальные растягивающие и максимальные сжимающие напряжения в опасном сечении были одновременно равны соответствующим допускаемым напряжениям.

По справочным данным (Приложение Д) механические свойства чугуна СЧ 21-40: предел прочности при растяжении σâð = 210 МПа, при сжатии σâñ = 750 МПа. Соответственно, допускаемые напряжения для растянутых и сжатых волокон се- чения:

С учетом того, что в верхних волокнах сечения балки действуют сжимающие напряжения, а в нижних — растягивающие, рациональным является расположение сечения, показанное на рисунке 2.10, а.

3. Сечение балки имеет только одну ось симметрии y, поэтому максимальные нормальные напряжения в точках опасного сечения определяем по выражениям

ãäå Ixc — момент инерции сечения относительно главной цен-

тральной оси xc; ymax — расстояние от оси xc до наиболее удаленной точки в растянутой ( ymaxр ) и сжатой ( ymaxc ) областях се-

чения.

4. Для определения момента инерции Ixñ прежде следует вычислить координаты центра тяжести сечения и положение главной оси.

Разбиваем сечение на простые элементы — один прямоугольный размерами 4aЧa и два прямоугольных размерами 6aЧa (рисунок 2.10, б).

64

Задаемся первоначальной системой координат xy (рисунок 2.10, в) и определяем координаты центра тяжести сечения xc è yc:

Момент инерции сечения Ixñ равен сумме моментов инерции элементов относительно центральной оси xc:

I xc = I xc1 + I xc2 + I xc3 .

Момент инерции каждого из элементов относительно центральной оси сечения определяем по выражению

Ixci = Ixi + (ai *)2 Fi ,

ãäå Ixi — момент инерции i-го элемента относительно его собственной центральной оси; аi* — величина переноса оси, т.е. расстояние между центральной осью сечения и центральной осью i-го элемента; Fi — площадь i-го элемента (таблица 2.11).

Полный момент инерции составного сечения относительно главной центральной оси xc

Ixc = Ixc1 + I xc2 + Ixc3 = 73,1a4 .

65

x

5.Из условий прочности, записанных для растянутых

èсжатых волокон опасного сечения, с учетом того, что расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой областях

р

ymax = 3,125a,

ymaxс = 7a − 3,125a = 3,875a,

66

определяем соответствующие величины допускаемой нагрузки:

Следовательно, для растянутой и сжатой областей сечения допускаемые значения параметра нагрузки

Из полученных значений выбираем наименьшее: в целом для балки допускаемое значение параметра нагрузки

qmax = 6,17 кН/м .

6. Для построения эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки определим максимальные напряжения в растянутой и сжатой областях сечения при действии допускаемой нагрузки qmax:

Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении показана на рисунке 2.11.

67

87 ÌÏà

Ýσ

–

+

70 ÌÏà

Рисунок 2.11

2.6. Расчет на жесткость при изгибе балки

При решении задач на жесткость при прямом изгибе перемещения в заданной точке оси балки (прогиб f или угол поворота сечения θ) определяют с помощью интеграла Мора

где n — число силовых участков балки; MP — аналитическое выражение изгибающего момента как функции от координаты z при действии внешних сил (включая реакции опор); M1P то же при действии только единичной силы, приложенной в заданной точке; M1M — при действии только единичного момента; EIx — жесткость сечения балки в плоскости изгиба.

При определении перемещений рассматривают два состояния системы: первое — «основное» с приложенными действующими нагрузками, второе — «единичное», когда действует лишь одна безразмерная сосредоточенная сила P = 1 (при определении линейного перемещения f ) или один безразмерный сосредоточенный момент M = 1 (при определении угла поворота θ). Единичную силу или единичный момент прикладывают в точке балки, где определяют соответствующее перемещение, по направлению искомого перемещения. Строят эпюры изгибающего момента для каждого состояния — грузовую ЭMP и единич- ную ЭM1.

68

При вычислении интеграла для упрощения расчетов используют графоаналитические способы.

Способ Верещагина. Перемещение в точке определяют по формуле

δ = ΩMc ,

EIx

где Ω — площадь грузовой эпюры изгибающего момента; Mc — ордината единичной эпюры под центром тяжести площади грузовой эпюры (рисунок 2.12, а).

Эпюры должны удовлетворять следующим условиям:

1)грузовая эпюра ЭMP непрерывна и сохраняет знак на всем участке интегрирования;

2)площадь и положение центра тяжести грузовой эпюры известны или легко определяются;

3)единичная эпюра является линейной;

4)жесткость сечения EIx постоянная.

Эпюры разбивают на n простых фигур (участков), удовлетворяющих перечисленным условиям, и перемещение вычисляют по формуле

69

Формула Мюллера-Бреслау. Перемещение в точке определяют по формуле

ãäå li — длина i-го участка эпюры; величины Аi, Âi, ai, bi, fi показаны на рисунке 2.12, б.

Формула Симпсона. Перемещение в точке определяют по формуле

ãäå Ài, Âi, Ñi, ai, bi, ci показаны на рисунке 2.12, в.

Пример 10

Для балки прямоугольного сечения, показанной на рисунке 2.13, изготовленной из пластичного материала, требуется:

1)построить эпюры внутренних силовых факторов;

2)из условия прочности определить допускаемое значение параметра нагрузки Pmax,

3)определить прогиб балки в точке А и угол поворота се- чения в точке В.

70