Сопромат-учебное пособие

На основании условия прочности (в зависимости от вида расчета на прочность) выполняют проверку прочности или определяют требуемый параметр: допускаемое значение нагрузки M (Mmax) или допускаемое значение диаметра бруса d

(dmin).

Абсолютный угол закручивания i-го участка бруса рассчи- тывают по формуле

ãäå Mêi — величина крутящего момента, действующего на этом участке; li — длина участка; Ipi — полярный момент инерции сечения на участке; G — модуль упругости второго рода (модуль сдвига) материала вала.

Для сталей модуль сдвига примерно равен G = 8·104 МПа. Формулы для определения полярного момента инерции некоторых характерных видов сечений приведены в таблице 2.4.

Полный абсолютный угол закручивания концевых сечений бруса определяют как сумму углов закручивания на всех его n участках:

n

ϕ= ∑ ϕi .

i=1

Пример 7

Для бруса переменного сечения (рисунок 2.5), нагруженного моментами, требуется:

1)построить эпюры крутящего момента, касательного напряжения и угла поворота сечений;

2)с использованием условия прочности определить допускаемое значение диаметра d;

3)для найденного значения диаметра вычислить наибольший угол закручивания бруса.

Исходные данные: параметр длины бруса l = 0,5 м, параметр нагрузки M = 1,5 кН·м, допускаемое касательное напряжение [τ] = 100 МПа; остальные данные приведены в таблице 2.6.

51

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи с учетом длин и диаметров участков бруса, величин и направлений действующих моментов в соответствии с данными таблицы 2.6 (рисунок 2.6, а).

2.Используя метод сечений, по аналогии с примером 2 получаем эпюру крутящего момента Mê (рисунок 2.6, б).

3.Определяем касательные напряжения на участках бруса (таблица 2.7). Крутящий момент и диаметр вала на каждом из участков постоянные, следовательно, касательное напряжение на каждом из участков также будет постоянным (рисунок 2.6, в).

Максимальное касательное напряжение (без учета знака), как видно из таблицы 2.7, возникает на 2-м участке:

M

τmax = 5,093 d3 .

Этот участок бруса является опасным.

52

1,5d 2M d 1,5d 0,5d M

à

â

ã

Рисунок 2.6

53

4. Записываем для 2-го участка условие прочности:

5,093 M ≤ [τ] , d3

отсюда получаем формулу для определения диаметра d:

d ≥ 3 5,093M . [τ]

Допускаемым будет минимально возможное значение диаметра dmin, ò.å.

dmin = 3 5,093M . [τ]

Подставляя значения входящих в формулу величин, определяем требуемое значение диаметра dmin:

dmin = 3 5,093 1,5 10−3 = 0,042 (м) . 100

Итак, минимальное допускаемое значение диаметра бруса d равно 0,042 м или 42 мм.

54

5. Определяем абсолютный угол закручивания каждого из участков бруса (таблица 2.8).

Эпюру углов поворота сечений (рисунок 2.6, г) строим с учетом следующих соображений. В начале 1-го участка (в заделке) угол поворота сечения равен 0. В конце 1-го участка поперечное сечение поворачивается на величину, равную углу закручивания этого участка:

Ml

ϕ1к = −4,03 Gd4 .

По длине 1-го участка угол поворота сечений изменяется по линейному закону, т.к. крутящий момент на участке постоянный. В начале 2-го участка угол поворота сечения равен углу поворота сечения в конце 1-го участка:

Ml

ϕ2н = ϕ1к = −4,03 Gd4 .

В конце 2-го участка поперечное сечение поворачивается на угол, равный сумме угла поворота сечения в начале ϕ2í и угла закручивания этого участка:

55

По длине 2-го участка угол поворота сечений также изменяется по линейному закону. В начале 3-го участка угол поворота сечения равен углу поворота сечения в конце 2-го участка:

Ml

ϕ3н = ϕ2к = 6,16 Gd4 .

В конце 3-го участка поперечное сечение поворачивается на угол, равный сумме угла поворота в начале ϕ3í и угла закручивания этого участка:

6.Максимальный угол закручивания вала, в соответствии

ñполученной эпюрой углов поворота, наблюдается в конце 3-го участка. Определим его величину при действии предельно допустимой нагрузки:

Итак, максимальный угол закручивания вала равен 0,031 радиана или 1,8°.

2.5. Прямой поперечный изгиб балки

При решении задач на прочность при прямом поперечном изгибе необходимо:

1)определить действующие в балке внутренние силовые факторы (поперечную силу Q и изгибающий момент M) и построить их эпюры;

2)определить опасное сечение балки, опасную точку се- чения и вычислить нормальные напряжения σ в опасной точ-

êå (σmax);

3) с использованием условия прочности выполнить проверку прочности или определить допускаемое значение требуемого параметра.

При изгибе в балке возникают как нормальные σ, так и касательные τ напряжения. Появление касательных напряжений

56

вызвано действием поперечной силы Q, нормальных напряжений — действием изгибающего момента M. В подавляющем большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям.

При выполнении расчета на прочность в первую очередь следует определить опасное сечение балки — это сечение, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент Mmax. В этом сечении определяют опасную точку — наиболее удаленную от нейтральной оси сечения. Для опасной точки и записывают условие прочности

σmax ≤ [σ] ,

ãäå σmax — максимальная величина нормального напряжения в балке (в опасной точке опасного сечения); [σ] — допускаемое нормальное напряжение.

Допускаемое напряжение определяют в зависимости от материала балки. Для пластичных материалов

[σ] = σт , nт

ãäå σò — предел текучести материала (по справочным данным, Приложение Г); nò — нормативный коэффициент запаса, для машиностроительных конструкций nò = 1,5...2,5.

Для хрупких материалов

[σ] = σв , nв

ãäå σâ — предел прочности материала; nâ = 2,5...5,0.

Для симметричного сечения (рисунок 2.7, а) в системе координат, совпадающей с главными центральными осями, при прямом поперечном изгибе нормальные напряжения в опасной точке рассчитывают по формуле

σmax =

Mx max ,

Wx

ãäå Wx — осевой момент сопротивления сечения.

57

В случае несимметричного относительно главной центральной оси сечения (рисунок 2.7, б) нормальные напряжения в опасной точке определяют по формуле

ãäå Ixñ — осевой момент инерции относительно оси x, проходящей через центр тяжести сечения; ymax — расстояние от оси x до наиболее удаленной точки сечения.

С использованием условия прочности (в зависимости от вида расчета на прочность) выполняют проверочный расчет или определяют требуемый параметр: допускаемое значение нагрузки M (Mmax) или допускаемое значение характерного размера сечения.

Пример 8

Для балки из пластичного материала, показанной на рисунке 2.8, требуется:

1)построить эпюры внутренних силовых факторов;

2)с использованием условия прочности

а) для заданного сечения определить геометрические размеры и номер прокатного профиля;

58

б) для полученного соотношения габаритных размеров се- чения h/b определить размеры прямоугольного сечения;

в) определить диаметр круглого сечения; 3) вычертить сечения в масштабе и сравнить площади и

веса балок.

Исходные данные: параметр длины балки l = 1,0 м; интенсивность распределенной нагрузки q = 2,5 кН/м; нормативный коэффициент запаса nò = 2,5. Остальные данные приведены в таблице 2.9.

b

Решение

1.Изображаем реальную схему задачи с учетом длин уча- стков балки, величин и направлений действующих нагрузок в соответствии с данными таблицы 2.9 (рисунок 2.9, а).

2.Записав уравнения равновесия балки, определяем реакции опор RyA è RyB:

ΣPy = RyА + RyB − 4ql + 2ql − 2q 3l = 0 ,

59

ΣMA = −4ql l + 2ql 4l − 2q 3l 2,5l + RyB 3l = 0,

Эпюры поперечной силы ЭQ и изгибающего момента ЭМ показаны на рисунке 2.9, б.

Максимальный момент в балке равен Mmax = 4,36ql2. Это сечение является опасным.

3. В опасном сечении опасными являются точки, наиболее удаленные от главной центральной оси. Поскольку сечение симметричное, положение центра тяжести и главной оси известно: центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, главные оси совпадают с осями симметрии (рисунок 2.9, в). При изгибе относительно оси x опасными являются точки на верхней и нижней кромках сечения. Расстояние от центра тяжести сечения до опасных точек также известно:

ymax = h / 2 .

4. Для определения номера профиля и размеров попереч- ного сечения балки с использованием условия прочности

σmax = Mmax ≤ [σ] = σт

Wx nт

вычисляем момент сопротивления сечения:

Минимально допустимый момент сопротивления сечения равен 9,08·10–5 ì3 èëè 90,8 ñì3. Поскольку сечение составлено из двух одинаковых профилей, их моменты инерции равны и расстояние ymax для элементов сечения одинаковое, то

ãäå Ix1 è Ix2, Wx1 è Wx2 — соответственно моменты инерции и моменты сопротивления составляющих сечение профилей.

60