2.12 Зависимость коэффициента диффузии от технологических параметров.
В общем случае коэффициент диффузии зависит от следующих факторов:
температуры процесса;
давления в реакционной системе;
концентрации легирующих веществ;
кристаллического совершенства и наличия упругих напряжений в структуре.
2.14 Первый закон Фика
Если рассматривать диффузию как процесс переноса атомов в неравновесной системе, вызываемый только наличием градиента концентрации вещества, то выражение для потока вещества, проходящего в единицу времени через единицу площади сечения, перпендикулярного направлению перемещения вещества, выглядит следующим образом:
J = -D-gradC, (5.1)
где J - поток диффундирующего вещества; D - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом диффузии и имеющий размерность см2/с; С - концентрация атомов вещества, см'3.
Знак "минус" в уравнении означает, что поток атомов (и, следовательно, сам процесс диффузии) направлен в сторону убывания концентрации примеси. Коэффициент диффузии - величина, экспоненциально зависящая от температуры
где Ea - энергия активации диффузии, эВ ; D0 - коэффициент диффузии при бесконечно большой температуре, см2/с; k постоянная Больцмана, 8,6*10-5 эВ/К; Т- температура, К.
Уравнение (5.1) называют первым законом Фика, по имени швейцарского физика, получившего его, и говорит этот закон о том, что локальная скорость диффузии через сечение единичной площади в единицу времени пропорциональна градиенту концентрации рассоренного вещества, а направлена диффузия в сторону убывания концентрации примеси.
В технологии микроэлектроники используют плоскопараллельные пластины, и глубина проведения процессов диффузии много меньше толщины пластин. Это означает, что для теоретического анализа можно ограничиться одномерным случаем. Если концентрация примеси изменяется лишь в одном направлении, то выражение для потока в некоторой точке с координатой х в момент времени t будет иметь вид:
2.15 Второй закон Фика
С учетом закона сохранения вещества из первого закона Фика можно вывести выражение для второго закона Фика, согласно которому изменение концентрации вещества в некотором объеме должно определяться потоком внутрь этого объема
Уравнение (5.4) называют уравнением диффузии, и его решение для конкретных граничных условий описывает характер распределения диффундирующих частиц в различных точках среды в зависимости от времени.
2.16 Диффузия в полубесконечное тело из бесконечного источника.
Традиционно термодиффузионные процессы в технологии микроэлектроники проводят в две стадии. На первой стадии на поверхности подложки формируют тонкую легированную область. На второй стадии при отжиге структуры в атмосфере, не содержащей примесей, добиваются перераспределения введенных на первой стадии примесей в подложку. Первая стадия традиционного диффузионного процесса соответствует диффузии в полубесконечное тело из бесконечного источника. Вторая стадия диффузии соответствует диффузии в полубесконечное тело из ограниченного источника.
Полубесконечным телом любую монокристаллическую пластину можно считать при условии, что диффузия проводится на глубину, много меньшую толщины подложки. Бесконечным (или постоянным) источником можно считать такое состояние системы, когда количество примеси, уходящей с поверхности в объем полупроводника, равно количеству примеси, поступающей на поверхность. Это означает, что количество примеси вокруг пластины, например в газовой фазе, значительно больше, чем в ее объеме. Граничные условия в этом случае записываются как
С(х) =О при t = O;
С(х) =C0 при t >О, х = О;
Решение второго закона Фико при данных граничных условиях описывается дополнительной функцией ошибок
Количество примеси, введенное в подложку за время диффузии из бесконечного источника Q(t), определяется как
Если
в объеме подложки присутствует
другая примесь с концентрацией СB,
то суммарное количество
примеси
будет равно
при этом знак "минус" соответствует случаю, когда примесь в подложке и вводимая примесь имеют разный знак, т.е. формируется гетеропереход.
Глубина залегания p-n перехода определяется условием
или