
2.Представление сигналов в спектральном виде
2.1 Преобразование Фурье
В радиотехнике и электротехнике большое значение придается гармоническим сигналам. Это обусловлено следующими причинами:
1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями (т.е. сигнал на выходе также является гармоническим и отличается только амплитудой и фазой).
2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.
Если какой-то сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то говорят, что осуществлено его спектральное разложение.
Практически любой электрический сигнал можно представить в спектральном виде. Для этого надо воспользоваться его разложением в ряд Фурье.
Итак, если на
отрезке
задан ортонормированный базис,
образованный гармоническими функциями
с кратными частотами:
;
;
(2.1)
и так далее, то любую периодическую функцию
n
= 1,2...
можно представить в спектральном виде:
, ( 2 .2)
где Cm - коэффициенты ряда Фурье;
Um - базис ортонормированных функций (2 1).
Ряд ( 2.2 ) называется рядом Фурье.
Используя (2.1 ) и (2.2 ) можно для S(t) записать:
, ( 2.3 )
где:
,
( 2.3а )
,
Каждая гармоника ряда Фурье характеризуется амплитудой Am и начальной фазой m, и для коэффициентов разложения (2.3а ) можно записать: am=Amcosm, bm=Amsinm.
Откуда
, где
.
Тогда ( 2.3 ) представляется в более удобном виде
( 2.4 )
Пример 1.1
Найти спектральное преобразование последовательности прямоугольных импульсов с параметрами ( см. рис.2.1а ) четными относительно t = 0.
Отношение
- скважность импульсов.
Используя ( 2.3а ) имеем:
;
;
Используя (2.3 ) для спектрального разложения получим:
График такого спектрального разложения, для двух крайних случаев, показан на рис.2.1б.
Спектральное разложение периодического сигнала можно получить, используя в качестве базиса ортонормированных функций экспоненты с мнимым показателем, т.е.
;
;
;
;
..............................................
,
где k = 0, 1, 2...
Тогда ряд Фурье принимает вид:
, (2.5 )
где
,
Cn
- коэффициенты ряда Фурье.
Разложение (2.5 ) иногда представляют в более удобном виде
, (2.5а )
где
Выражения (2.5 ) и ( 2.5а ) являются разложением ряда Фурье в комплексной форме.
Так как n принимает значения от - до +, то из (2.5а ) видно, что спектр сигнала содержит компоненты как с положительными, так и с отрицательными частотами. Обычно их объединяют в пары, т.е.
=
Отрицательной частоте соответствует вектор напряжения (см.рис.2.2) из разложения (2.5), вращающийся против часовой стрелки, а положительной частоте - вектор вращающийся против часовой стрелки.
2.2.Спектральная плотность сигнала
Пусть S(t) - одиночный импульсный сигнал. Чтобы найти его спектральное разложение надо мысленно дополнить его такими же сигналами периодически следующими через T. Тогда используя спектральное разложение в комплексной форме можно записать:
с коэффициентами разложения:
Чтобы вернуться к одиночному импульсу надо период T устремить в бесконечность T , тогда частоты n1 и (n+1)1 будут сколь угодно близки друг к другу и их можно заменить на текущую частоту
( 2.6 )
Если коэффициенты
ряда Фурье образуют комплексно-сопряженные
пары, то
и
и каждой паре соответствует гармоническое
колебание вида:
=
Выражение получено при условии что расстояние от n1 до (n+1) 1 мало.
Рассмотрим
бесконечно малый интервал .
В рамках этого интервала будет содержаться
(так как 1=2/T)
пар спектральных составляющих с
коэффициентами разложения (2.6 ),
представляющими собой комплексную
амплитуду соответствующего единичного
гармонического колебания, т.е.
(2.7)
Так как в рамках интервала таких колебаний будет N, то полную комплексную эквивалентную амплитуду получим домножив ( 2.7 ) на 2N, т.к. спектр сигнала содержит комплексно сопряженные пары.
(2. 8 )
Выражение (2.8) называется спектральной плотностью сигнала S(t).
С учетом вышесказанного (2.8 ) принимает вид
( 2.9)
С точки зрения физического смысла спектральную плотность можно представить как коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот и отвечающей ему амплитудой гармонического сигнала с частотой 0 лежащей внутри .
Пример 2.2. Найти спектральную плотность прямоугольного импульса изображенного на рис.2.3а.
Используя соотношение (2.8) имеем:
Пусть
, тогда
График
нормированной спектральной плотности
представлен на рис.2.3б.