Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Cadence / DSD11-1 / CHAPTER2

.DOC
Скачиваний:
16
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
235.52 Кб
Скачать

2.Представление сигналов в спектральном виде

2.1 Преобразование Фурье

В радиотехнике и электротехнике большое значение придается гармоническим сигналам. Это обусловлено следующими причинами:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями (т.е. сигнал на выходе также является гармоническим и отличается только амплитудой и фазой).

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-то сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то говорят, что осуществлено его спектральное разложение.

Практически любой электрический сигнал можно представить в спектральном виде. Для этого надо воспользоваться его разложением в ряд Фурье.

Итак, если на отрезке задан ортонормированный базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами:

; ;

(2.1)

и так далее, то любую периодическую функцию

n = 1,2...

можно представить в спектральном виде:

, ( 2 .2)

где Cm - коэффициенты ряда Фурье;

Um - базис ортонормированных функций (2 1).

Ряд ( 2.2 ) называется рядом Фурье.

Используя (2.1 ) и (2.2 ) можно для S(t) записать:

, ( 2.3 )

где: , ( 2.3а )

,

Каждая гармоника ряда Фурье характеризуется амплитудой Am и начальной фазой m, и для коэффициентов разложения (2.3а ) можно записать: am=Amcosm, bm=Amsinm.

Откуда , где .

Тогда ( 2.3 ) представляется в более удобном виде

( 2.4 )

Пример 1.1

Найти спектральное преобразование последовательности прямоугольных импульсов с параметрами ( см. рис.2.1а ) четными относительно t = 0.

Отношение - скважность импульсов.

Используя ( 2.3а ) имеем:

;

;

Используя (2.3 ) для спектрального разложения получим:

График такого спектрального разложения, для двух крайних случаев, показан на рис.2.1б.

Спектральное разложение периодического сигнала можно получить, используя в качестве базиса ортонормированных функций экспоненты с мнимым показателем, т.е.

; ;

; ;

..............................................

,

где k = 0, 1, 2...

Тогда ряд Фурье принимает вид:

, (2.5 )

где , Cn - коэффициенты ряда Фурье.

Разложение (2.5 ) иногда представляют в более удобном виде

, (2.5а )

где

Выражения (2.5 ) и ( 2.5а ) являются разложением ряда Фурье в комплексной форме.

Так как n принимает значения от - до +, то из (2.5а ) видно, что спектр сигнала содержит компоненты как с положительными, так и с отрицательными частотами. Обычно их объединяют в пары, т.е.

=

Отрицательной частоте соответствует вектор напряжения (см.рис.2.2) из разложения (2.5), вращающийся против часовой стрелки, а положительной частоте - вектор вращающийся против часовой стрелки.

2.2.Спектральная плотность сигнала

Пусть S(t) - одиночный импульсный сигнал. Чтобы найти его спектральное разложение надо мысленно дополнить его такими же сигналами периодически следующими через T. Тогда используя спектральное разложение в комплексной форме можно записать:

с коэффициентами разложения:

Чтобы вернуться к одиночному импульсу надо период T устремить в бесконечность T  , тогда частоты n1 и (n+1)1 будут сколь угодно близки друг к другу и их можно заменить на текущую частоту

( 2.6 )

Если коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно-сопряженные пары, то и и каждой паре соответствует гармоническое колебание вида:

 = 

Выражение получено при условии что расстояние от n1 до (n+1) 1 мало.

Рассмотрим бесконечно малый интервал . В рамках этого интервала будет содержаться (так как 1=2/T) пар спектральных составляющих с коэффициентами разложения (2.6 ), представляющими собой комплексную амплитуду соответствующего единичного гармонического колебания, т.е.

(2.7)

Так как в рамках интервала  таких колебаний будет N, то полную комплексную эквивалентную амплитуду получим домножив ( 2.7 ) на 2N, т.к. спектр сигнала содержит комплексно сопряженные пары.

(2. 8 )

Выражение (2.8) называется спектральной плотностью сигнала S(t).

С учетом вышесказанного (2.8 ) принимает вид

( 2.9)

С точки зрения физического смысла спектральную плотность можно представить как коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот  и отвечающей ему амплитудой гармонического сигнала с частотой 0 лежащей внутри .

Пример 2.2. Найти спектральную плотность прямоугольного импульса изображенного на рис.2.3а.

Используя соотношение (2.8) имеем:

Пусть , тогда

График нормированной спектральной плотности представлен на рис.2.3б.

Соседние файлы в папке DSD11-1