Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске

Кафедра высшей математики

Лабораторная работа №2

на тему:

«Функции в Maple. Операции оценивания.

Решение уравнений и неравенств.»

Студент: Безверхая К.А.

Группа: ПИЭ-12

Преподаватели: Мазалов М.Я, Бобков В.И.

a=9

b=6

с=10

Смоленск, 2013

Лабораторная работа №7

Линейная алгебра.

Векторная алгебра.

Выполнил студент : Безверхая К.А. ПИЭ-12

Задание №1

1. Даны два вектора: и . Найти и угол между a и b:

> with(linalg):

> a:=([2,1,3,2]); b:=([1,2,-2,1]);

> dotprod(a,b);

> phi=angle(a,b);

2. Найти векторное произведение , а затем скалярное произведение , где , .

> with(linalg):

> a:=([2,-2,1]); b:=([2,3,6]);

> c:=crossprod(a,b);

> dotprod(a,c);

3. Найти норму вектора .

> with(linalg):

> a:=vector([1,2,3,4,5,6]): norm(a,2);

> restart;

4. Из системы векторов: , , , , выделить базис и ортогонализовать его по процедуре Грамма-Шмидта:

> with(linalg):

> a1:=vector([1,2,2,-1]):

a2:=vector([1,1,-5,3]):

a3:=vector([3,2,8,7]): a4:=vector([0,1,7,-4]):

a5:=vector([2,1,12,-10]):

> g:=basis([a1,a2,a3,a4,a5]);

> GramSchmidt(g);

> restart;

§2. Действия с матрицами

Действия с матрицами.

Задание №2

1. Даны матрицы: , , . Найти: (AB)C , detA, detB, detC, det[(AB)C].

> with(linalg): A:=matrix([[4,3],[7,5]]):

> B:=matrix([[-28,93],[38,-126]]):

> C:=matrix([[7,3],[2,1]]):

> F:=evalm(A&*B&*C);

> Det(A)=det(A); Det(B)=det(B); Det(C)=det(C);

Det(F)=det(F);

2. Дана матрица , найти: det A, А', , det(M₂₂).

> with(linalg):A:=matrix ([[2,5,7],[6,3,4],[5,-2,-3]]);

> Det(A)=det(A);

> transpose(A);

> inverse(A);

> det(minor(A,2,2));

3. Найти ранг матрицы .

> with(linalg):A:=matrix([[8,-4,5,5,9], [1,-3,-5,0,-7],

[7,-5,1,4,1], [3,-1,3,2,5]]):

> r(A)=rank(A);

> restart;

4. Вычислить , где .

> with(linalg, exponential); exponential([[3,-1],[1,1]]);

5. Дана матрица . Найти значение многочлена .

> restart;

> with(linalg):A:=matrix([[5,1,4],[3,3,2],[6,2,10]]):

> P(A)=evalm(A^3-18*A^2+64*A);

§3. Спектральный анализ матрицы

Спектральный анализ матрицы.

Задание №3

1. Дана матрица . Найти ее собственные векторы и собственные числа.

> with(linalg):U:=matrix([[3,2-I],[2+I,7]]):

> eigenvectors(U);

2. Дана матрица . Найти собственные векторы, собственные числа, характеристический многочлен и минимальный многочлен, Жорданову форму.

> with(linalg):A:=matrix([[3,-I,0],[I,3,0],[0,0,4]]):

> eigenvectors(A);

> P(lambda):=charpoly(A,lambda);

> P(lambda):=minpoly(A,lambda);

> jordan(A);

3. Дана матрица . Привести матрицу А к Жордановой форме, треугольному виду, найти ее характеристическую матрицу.

> with(linalg): A:=matrix([[1,-3,4],[4,-7,8],[6,-7,7]]):

> j:=jordan(A);

> g:=gausselim(A);

> F:=charmat(A,lambda);

§4. Системы линейных уравнений. Матричные уравнения

Системы линейных уравнений. Матричные уравнения

Задание №4

1. Найти общее и одно частное решение системы:

> eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2,

2*x-3*y-11*z-15*t=1}:

> s:=solve(eq,{x,y,z});

> subs({y=1,t=1},s);

2. Решить матричное уравнение: АX=В; где ,

> with(linalg): A:=matrix([[1,2],[3,4]]):

> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):

> X:=linsolve(A,B);

3. Дана матрица . Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А.

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):

> r:=rank(A);

> d(A):=rowdim(A)-r(A);

> k(A):=kernel(A);

Контрольные задания.

a=6 (Ксения)

b=10 (Аркадьевна)

с=9 (Безверхая)

1. Даны векторы , , . Выполнить следующие задания:

а) найти

б) найти

в) найти угол между векторами и .

> restart; with(linalg):

> a1:=([6,3]):

> a2:=([10,-4]):

> a3:=([2,9]):

> A=(6*a1)-(10*a2);

>

> B=dotprod(a3,a3)-dotprod(a1,a2);

> V=angle(a1,a3);

2. Даны матрицы , Вычислить:

a) б) в)

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[6,1,10],[0,9,-3]]):

> B:=matrix([[-2,3,6],[10,9,0]]):

> a=evalm(evalm(4*A)-evalm(3*B)-evalm(6*matrix([[3,2,1],[-1,4,5]])));

> with(linalg): A:=matrix([[6,1,10],[0,9,-3]]):

> B:=matrix([[-2,3,6],[10,9,0]]):

> b=transpose(multiply(transpose(A),B));

> with(linalg): A:=matrix([[6,1,10],[0,9,-3]]):

> B:=matrix([[-2,3,6],[10,9,0]]):

> v=evalm(multiply(transpose(A),A)+multiply(transpose(B),B));

3. Вычислить определители для следующих матриц:

а) б)

> with(linalg): A:=matrix([[6,10],[-4,9]]);

> B:=matrix([[6,10,9],[1,2,0],[3,1,4]]);

> Det(A)=det(A);

> Det(B)=det(B);

4. Найти обратные для следующих матриц:

a) б)

> with(linalg): A:=matrix([[6,9],[2,10]]);

> B:=matrix([[1,6,10],[9,-3,6],[6,9,10]]);

> a=inverse(A);

> b=inverse(B);

5. Дана матрица

a) Привести матрицу С к треугольному виду.

б) Вычислить M₂₃

в) Найти ранг матрицы.

> restart;

> with(linalg):C:=matrix([[6,1,-2,9],[2,3,10,1],[6,3,-1,9],[2,-3,10,0]]);

> g:=gausselim(C);

> M=det(minor(C,2,3));

> r(C)=rank(C);

6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A=

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[6,9],[2,10]]);

> eigenvectors(A);

7. Решить матричные уравнения:

а) б)

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[6,9],[2,9]]);

> B:=matrix([[10,-3],[9,-6]]);

> X(a):=linsolve(A,B);

> restart;

> with(linalg): A:=matrix([[1,6,10],[9,-3,6],[6,10,9]]);

> b:=[6,10,9];

> X2:=linsolve(A,b);