6.4. Токи при размыкании и замыкании цепей

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Найдем законы изменения силы тока в цепи при ее замыкании или размыкании. Допустим, что источник с ЭДС Eзамыкается ключомКна цепь, содержащую резистор сопротивлениемRи катушку индуктивностьюL(рис. 6.8).

Поскольку сила тока в цепи будет возрастать, в катушке возникнет явление самоиндукции, в результате чего в процессе изменения тока в цепи будут существовать две ЭДС – источника Еи самоиндукцииЕ_s. Запишем выражение закона Ома для замкнутой цепи:

Подставим в эту формулу выражение для Е_s:

и приведем ее к виду

Полученное дифференциальное уравнение решим, разделив переменные:

Умножим левую и правую часть последнего уравнения на Rи преобразуем к виду

Проинтегрировав последнее выражение, получаем

где С– постоянная интегрирования, которая может быть найдена из начальных условий. В окончательном виде закон изменения силы тока в цепи будет выглядеть так:

Подставим в (6.12)начальные условия, которые при замыкании цепи будут выглядеть так: t = 0;I(0) = 0.

,

отсюда С=Е. Тогда уравнение (6.12) принимает вид:

При значение силы тока в цепи установится равным

График зависимости силы тока от времени при замыкании цепи для различных индуктивностей () приведен на рис. 6.9.

Теперь рассмотрим случай размыкания цепи (рис. 6.10). В момент времени t = 0 отключим источник тока, замкнув одновременно цепь накоротко переключателемП.

Начальные условия для решения уравнения в этом случае будут выглядеть следующим образом: t = 0; I(0) = I₀; Е(0) = 0.

Подставим эти условия в (6.12):

Отсюда получаем . Соотношение (6.12) принимает вид:

Cила тока в цепи будет стремиться к нулю по экспоненте при (рис. 6.11).

Из уравнения (6.14) следует, что за время = L/Rсила тока убывает вe раз. Величинаназываетсяпостоянной времени. С использованием постоянной времени закон изменения силы тока можно записать следующим образом:

Чем больше постоянная времени , тем медленнее происходит процесс установления силы тока при коммутации цепей, содержащих индуктивности.

6.5. Энергия магнитного поля.Объемная плотность энергии

Продолжим рассмотрение явлений, возникающих при размыкании цепи, с точки зрения закона сохранения энергии. Поскольку после отключения источника (рис.6.11) ток в цепи не прекращается, то можно говорить, что работа по переносу зарядов в цепи совершается за счет ЭДС самоиндукции. При переносе по цепи заряда dqработу можно найти следующим образом:

Поскольку сила тока в цепи уменьшается, то ослабевает создаваемое током магнитное поле. С точки зрения закона сохранения энергии это означает, что работа по переносу зарядов осуществляется за счет уменьшения энергии магнитного поля: A = – dW_м.Последнее уравнение можно проинтегрировать, получив

Поскольку по окончании процесса сила тока в цепи равна нулю, то W_м2.= 0. Подставим это условие в формулу для работы по переносу зарядов (6.15):

Можно рассмотреть также обратный процесс, осуществляемый при включении источника в цепь. При нарастании силы тока через катушку от значения I=0до некоторого значенияI увеличивается магнитный поток через катушку, при этом возникает ЭДС самоиндукции. Поскольку ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию тока в цепи, то источник тока будет совершать работу против сил индуцированного поля. При этом работа источника тока создает энергию магнитного поля:

После интегрирования этого выражения получаем

Таким образом, как бы мы ни анализировали процесс, но результат его рассмотрения один и тот же: если в системе, обладающей индуктивностью L, существует токI, то в системе существует магнитное поле с энергией

Рассмотрим длинный соленоид, индуктивность которого, как известно, выражается формулой

Если пропустить по соленоиду ток I, то внутри соленоида возникнет магнитное поле, энергию которого можно определить по формуле (6.18):

Преобразуем это выражение, учитывая, что V=Sl– объем соленоида, т.е. объем соленоида:

,

где магнитная индукция Вполя внутри соленоида. Введем понятие объемной плотности энергии магнитного поля так же, как мы вводили это понятие для электрического поля (3.15).Объемной плотностью энергии магнитного поля называется отношение энергии поля, заключенного в малом объеме пространства к этому объему. В вакууме объемная плотность энергии магнитного поля равна

Энергию однородного магнитного поля можно рассчитать так: W_м = w_мV.

В случае неоднородного поля:

где dV– такой объем части пространства, в пределах которого магнитное поле можно считать однородным.