lektsii_sopromat_1-5

Рис.2.5. Компоненты тензора напряженного состояния

Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис.2.5 все компоненты тензора напряжений изображены положительными.

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

Тензор напряжений обладает свойством симметрии (без доказательства). Это значит, что

,

Эти условия симметрии тензора напряжений называются условиями парности касательных напряжений. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

Покажем, что компоненты тензора напряжений, определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, то есть позволяют вычислить напряжения на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный тетраэдр (рис. 2.6). Наклонная площадка характеризуется единичным вектором п с компонентами nx, ny, nz, нормальным к ее плоскости.

Рис.2.6. К вычислению напряжений на наклонной площадке

Вектор напряжений pn на наклонной площадке разложим на составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площадь наклонной площадки обозначим dF. Площади граней, ортогональных координатным осям обозначим соответственно

dFx, dFy, dFz.

Эти площади связаны между собой соотношениями

так как грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

Проектируя напряжения, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проектируя все компоненты напряжений на ось Ох, получим

px dF x dFx xy dFy xz dFz 0

С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим

называется формулами Коши

Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2.2) позволяют вычислить полное напряжение через компоненты тензора напряжений

Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений pn параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения σ, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Так как векторы pn=σ и n совпадают по направлению, то можно записать, что

(2.6)

Подставив выражения (2.6) в соотношения Коши (2.2), получим систему линейных однородных уравнений относительно компонент nx, ny, nz вектора нормали к главной площадке

Система однородных уравнений имеет ненулевое решение, если ее определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль

Коэффициенты (2.9) в уравнении (2.8) называются инвариантами тензора напряжений. Термин «инвариантность» обозначает независимость некоторой величины от выбора системы координат.

Кубическое уравнение (2.8) имеет три вещественных корня σ1 σ2 σ3, которые обычно упорядочиваются так, что 1 2 3 .

Каждому значению σj (j=1, 2, 3) соответствует вектор nj, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n1j , n2j , n3j . Для нахождения

этих компонент необходимо в уравнения подставить найденное значение σj и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

(2.12)

Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Уравнение (2.7) для главных площадок принимает вид

Наименьший положительный корень уравнения (3) обозначим через α1., второй корень – α2 = α1+π/2. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 8).

Рис.2.8. Положение главных площадок и напряжений

При этом грани х=const являются главными с нулевыми главными напряжениями.

Инварианты тензора напряжений равны

(2.22)

а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

Упрощенное плоское напряженное состояние

Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через тензор напряжений следующим образом.

Чистый сдвиг

Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Угол наклона главных площадок между осью Оу и нормалью п равен π/4

Линейное напряженное состояние

Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Главные напряжения равны

1 ,2 2 0 .

Вопросы к лекции.

1.Что такое напряжение и деформация.

2.Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений.

3.Типы напряженного состояния в точке

4.Главные напряжения в точке.

5.Плоское и упрощенное плоское напряженное состояние в точке.

6.Напряженное состояние – чистый сдвиг.

Лекция 3.

Механические свойства конструкционных материалов

Конструкционные материалы в процессе деформирования вплоть до разрушения ведут себя по разному. Если поведение характеризуется существенным изменением формы и размеров, при этом к моменту разрушения развиваются значительные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки, то такие материалы называются пластичными. Если разрушение наступает при весьма малых деформациях, то такие материалы называются хрупкими. Однако одни и те же конструкционные материалы при одних условиях проявляют себя как пластичные материалы, при других – как хрупкие.

При решении задач на растяжение и кручение мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые экспериментальные данные , на основе которых можно было бы построить теорию. К их числу относится закон Гука, где основными экспериментальными характеристиками являются модуль упругости и коэффициент Пуассона. Их значение зависит от химического состава материала, от условий термической и механической обработки.

Часто, кроме модуля упругости и коэффициента Пуассона, необходимо иметь другие характеристики прочностных свойств материала ( пластичность, работа при переменных режимах и так далее).

Эксперименты можно разделить на две группы по цели исследования:

1.установить механические характеристики прочности ( предел пропорциональности, предел текучести и другие);

2.обосновать гипотезы, применяемые для построения методик расчета (закон Гука, принцип Сен-Венана, коэффициент Пуассона и другие).

Диаграмма деформирования конструкционных материалов

Основным опытом для определения механических характеристик конструкционных материалов является опыт на растяжение призматического образца центрально приложенной силой, направленной по продольной оси; при этом в средней части образца реализуется однородное напряженное состояние. Форма, размеры образца и методика проведения испытаний определяются соответствующими стандартами, например, ГОСТ 34643—81, ГОСТ 1497–73.

По ГОСТу dl 5;10 . Испытательная машина задает перемещение стержня, а

усилие определяется как реакция на перемещение.

По результатам испытаний строится зависимость P f ( l) усилия как функция от абсолютного перемещения или зависимость f ( ) – напряжения

диаграммой деформирования. Здесь F0 – площадь сечения образца до испытания. Опыты на растяжение образцов выявляют некоторые общие свойства конструкционных материалов.

На рис. показана кривая деформирования при растяжении образцов из малоуглеродистой стали.

Для малоуглеродистых сталей на диаграмме деформирования можно выделить несколько характерных зон.

Зона ОА – зона упругости (этот участок для наглядности показан с отступлением от масштаба – на самом деле эта зона мала по сравнению с величиной деформации при разрушении). Зона АВ – промежуточная зона. Зона ВС –зона (площадка) текучести. В этой зоне деформация увеличивается без возрастания усилия. Зона CD – зона упрочнения, в которой удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но более медленным (в сотни раз), чем в зоне упругости. Зона DE – зона разрушения (зона местной текучести, то есть образование шейки).

Основные механические характеристики

1. В зоне ОА зависимость между напряжениями и деформациями линейна, она описывается законом Гука σ = E ε, где Е—модуль продольной упругости материала. Значение модуля упругости Е на кривой деформирования численно равно тангенсу угла наклона линейного участка E tg( )

Наибольшее напряжение, до которого выполняется закон Гука называется пределом пропорциональности

Здесь F0 площадь сечения образца до начала опыта, Pпц – значение усилия, при котором напряжения достигают предела пропорциональности.

2. В зоне текучести напряжение

T PT / F0 ,

при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки, называется пределом текучести. У многих конструкционных материалов площадка текучести не выражена столь явно, как у малоуглеродистых сталей. Для таких материалов вводится понятие условного предела текучести – это

напряжение, которому соответствует остаточная (пластическая) деформация, равная 0.2 %.

3. В зоне упрочнения. После площадки текучести для дальнейшего увеличения деформации необходимо увеличение нагрузи. Материал снова проявляет способность сопротивляться деформации; зона за площадкой текучести называется зоной упрочнения. Значение напряжения

пч Рпч / F0

соответствует максимальной нагрузке, выдерживаемой образцом. Соответствующее напряжение называется временным сопротивлением σВ (или пределом прочности σпч ). Предел прочности – величина условная, так как вычисляется по отношению к исходной площади сечения. Однако, известно, что в зоне упрочнения деформация перестает быть однородной по длине и образуется очаг местной деформации (так называемая шейка), в котором площадь сечения изменяется значительно больше, чем среднее уменьшение площади сечения по длине стержня. Поэтому предел прочности не есть напряжение, при котором образец разрушается.

Если в произвольной точке М в зоне упрочнения в некоторый момент прекратить нагружение и снять нагрузку, то разгрузка образца пойдет по линии MN, параллельной линейному участку диаграммы. При этом полная деформация в точке M равна:

4. В зоне разрушения. Дальнейшая деформация образца происходит без увеличения или даже с уменьшением нагрузки вплоть до разрушения. Напряжение

разр Рразр / F0

называется разрушающим

Если относить растягивающую силу не к начальной площади сечения F0,а к истинной площади сечения (шейки), то напряжение перед разрывом будет значительно больше. Если учитывать текущее значение площади поперечного сечения при определении напряжений, то получим диаграмму истинных напряжений(она показана штриховой линией) Напряжение

пчист Рист / Fист

называется истинным пределом прочности.

5. Удлинение при разрыве δ – это величина средней остаточной деформации, которая образуется к моменту разрыва на стандартной длине образца

6. Относительное сужение – это относительное уменьшение поперечных размеров образца

где l0, F0 — длина рабочей части образца и площадь поперечного сечения до деформации; lк — длина рабочей части образца после разрыва; Fк — конечная площадь поперечного сечения в шейке образца после разрыва.

По величине относительного удлинения при разрыве проводится разделение состояния материалов на пластичные и хрупкие. Материалы, имеющие к моменту разрушения достаточно большие значения 10% , относят к пластическим материалам. К хрупким относят материалы с относительным удлинением

.

Таблица 3.1. Механические характеристики некоторых материалов