u_lectures

411

r

При приложении к проводнику электрического поля E в нем возникает электрический ток, плотность которого согласно закону Ома пропорциональна

Коэффициент пропорциональности σ называется удельной электропроводностью проводника. Часто удобнее пользоваться не удельной электропроводностью, а удельным сопротивлением:

Возникновение тока в проводнике свидетельствует о том, что под действием поля электроны приобретают направленное движение и функция распределения их по состояниям изменяется. Такое направленное движение называют дрейфом электронов, а среднюю скорость этого движения - скоростью дрейфа νd . Вычислим ее. Сила, действующая на

электрон со стороны поля E , равна F = −qE . Под действием этой силы

электрон должен был бы двигаться ускоренно и его скорость должна была бы непрерывно возрастать. Однако при своем движении электрон сталкивается с дефектами решетки и, рассеиваясь, теряет скорость, приобретенную под влиянием поля. Действиеr решетки можно формально свести к действию силы со-

противления Fc , которую испытывает электрон при своем движении через

решетку. Эта сила пропорциональна скорости движения электрона v и направлена противоположно ей:

Здесь через 1/ τобозначен коэффициент пропорциональности; через mn — эф-

фективная масса электрона.

Используя (14.52), уравнение направленного движения электрона в ре-

Из (14.52) видно, что после включения поля скорость направленного движения электронов будет возрастать и они будут двигаться ускоренно до

сравняются, результирующая сила, действующая на электрон, и ускорение

412

Так как заряд электрона отрицателен, то дрейф происходит в направ-

лении, противоположном E .

Отношение скорости дрейфа к напряженности поля называют подвижностью носителей:

Для электронов un < 0, для дырок up > 0.

При постоянной напряженности поля E скорость дрейфа, согласно (14.54), достигаетr r постоянного значения. Это возможно лишь в том случае, ес-

ли сила F = −qE , с которой поле действует на электрон, компенсируется силой сопротивления Fc . В противном случае скорость дрейфа непрерывнорослабыи

даже для малых полей могла бы стать сколь угодно большой. Электропроводность в этом случае была бы бесконечной, а электрическое сопротивление равнялось бы нулю.

Подобная картина имела бы место при движении свободных электронов сквозь идеально правильную решетку со строго периодическим потенциалом. Электронная волна, описывающая поведение электрона в такой решетке, распространялась бы в ней практически без ослабления, подобно световой волне, распространяющейся в оптически прозрачной среде.

Причиной появления конечного электрического сопротивления являются всевозможные нарушения решетки, вызывающие искажения периодичности ее потенциала, на которых происходит рассеяние электронных волн и ослабление направленного потока электронов подобно рассеянию световых волн и ослаблениюсветового пучкаприпрохождении его через мутную среду.

14.5.2.Электропроводность металлов. Зависимость удельного сопротивления металла от температуры.

Зная скорость дрейфа vd электронов, можно вычислить плотность элек-

трического тока и удельную электропроводность проводника. Для этого построим мысленно внутри проводника цилиндр с основанием, площадью равной единицы, и образующей, равной vd и направленной вдоль дрейфа. Все

электроны, заключенные в этом цилиндре, в течение 1 сек пройдут через основание и создадут ток плотностью

Так как металлы являются вырожденными проводниками, то концентрация n электронного газа в них практически не зависит от температуры. По-

413

этому зависимость удельной электропроводности от температуры полностью определяется температурной зависимостью подвижности u электронов вырожденного электронного газа. Зависимости удельной электропроводности σ и удельного сопротивления ρ чистых металлов от температуры имеют сле-

Здесь A и a - коэффициенты пропорциональности.

На рис. 14.12 показана схематическая кривая зависимости удельного сопротивления чистых металлов от температуры. В области высоких температур графиком ρ(T)является прямая, в области низких температур – пара-

бола 5-й степени, и вблизи абсолютного нуля, где основное значение имеет рассеяние электронов на примесях, - прямая, параллельная оси температур.

Рис. 14.12.

14.5.3.Сверхпроводимость.

Умногих металлов и сплавов при температурах, близких с T=0К, наблюдается резкое уменьшение удельного сопротивления. Это явление получило название сверхпроводимости, а температуру Тс, при которой происходит переход в сверхпроводящее состояние, называют критической температурой перехода. Впервые сверхпроводимость была обнаружена у ртути (Тс=4,2К) голландским физиком Х.Каммерлинг-Онкесом в 1911 году. Максимальную критическую температуру среди чистых металлов имеет техне-

414

ций (11,2 К), среди сплавов - твердый раствор соединений Nb3Al и NbGe (20,05К).

Рис. 14.13.

Свойством сверхпроводимости обладают около половины металлов и несколько сотен сплавов. Одновалентные металлы, ферромагнетики, а также металлы, которые при комнатных температурах являются хорошими проводниками, по-видимому, не обладают сверхпроводимостью.

Сверхпроводящие свойства зависят от типа кристаллической структуры. Изменение типа решетки, например, при больших давлениях, может перевести вещество из обычного в сверхпроводящее состояние.

Введение примеси в сверхпроводник уменьшает резкость перехода в сверхпроводящее состояние (рис.14.13).

Регистрация сверхпроводящих свойств кристалла осуществляется либо измерением падения напряжения на образце, которое обращается в нуль при T < Тс, либо наблюдением за магнитным полем, создаваемым током в сверхпроводнике. Если сверхпроводник выполнен в виде замкнутого контура, то после индуцирования в нем тока I0 с помощью внешнего магнитного поля ток в контуре должен затухать по закону

ГДЕ R - СОПРОТИВЛЕНИЕ, ОМ; L - ИНДУКТИВНОСТЬ, ГН.

Измеряя зависимость от времени магнитного поля, создаваемого током в контуре, можно определить I(t) и, следовательно, R. Результаты исследования показывают, что удельное сопротивление вещества в сверхпроводящем состоянии, по крайней мере, меньше 10-25 Ом·м.

415

В нормальных металлах ток исчезает примерно через 10-12 с. В сверхпроводнике ток, может циркулировать годами (теоретически 105 лет!).

Явление сверхпроводимости можно понять и обосновать только с помощью квантовых представлений.

Микроскопическая теория сверхпроводимости была создана только в 1957 году Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ), хотя многие свойства сверхпроводников были систематизированы ранее, в рамках феноменологической электродинамической теории, которая была предложена Ф. и Г. Лондонами в 1935 году и была развита Пиппардом, Гинзбургом и Лан-

дау в 1950-1953 г.г.

Сущность теории БКШ заключается в том, что сверхпроводимость вызывается электрон-решеточным взаимодействием, а сверхпроводящие электроны являются обычными электронами, сгруппированными в пары.

Теория слишком сложна, но суть ее в первом приближении можно пояснить с помощью качественной модели, предложенной Литтлом.

Рис. 14.14.

На рис.14.14 приведена зависимость энергии от импульса для семи электронов в обычном проводнике, находящихся на дискретных уровнях и дискретных расстояниях друг от друга.

Зависимость энергии от импульса для одномерной модели проводника, состоящего из семи электронов (рис. 14.14а):

1.полный импульс равен нулю, все электроны находятся на своих наинизших энергетических уровнях;

2.из-за внешнего электрического поля результирующий импульс справа отличен от нуля.

В отсутствие электрического поля ток от электронов, движущихся на-

право, точно скомпенсирован током от электронов, перемещающихся налево. В результате общий ток равен нулю.

416

Если приложить электрическое поле, то все электроны приобретут некоторый дополнительный импульс, что эквивалентно смещению общего распределения в направлении электрического поля как это показано на рис. 14.14б.

Если убрать электрическое поле, то столкновение

1.с колеблющейся решеткой;

2.с атомами примесей;

3.с другими нерегулярностями кристаллической решетки приведут к тому, что более быстрые электроны станут переходить в более низкие энергетические состояния, пока не восстановится первоначальное распределение. В рамках нашей простой модели это будет означать, что электрон перейдет с энергетического уровня a , на энергетический уровень b.

Электрону в сверхпроводнике становится энергетически выгодно найти себе

компаньона. Электроны, обладающие противоположно направленными спинами, собираются в пары, чтобы сформировать новую частицу, называемую сверхпроводящим электроном или по имени ее первооткрывателя - куперовской парой, являющейся бозе-частицей. Эта связь между двумя электронами изображена на рис.14.15 в форме воображаемой механической пружины.

Рис. 14.15.

Таким образом, эффект сверхпроводимости возникает благодаря притяжению, существующему между некоторыми электронами. Мы говорим "некоторые электроны" не случайно. Дело в том, что притяжение относится только к части всех электронов в металле, и, вообще говоря, к небольшой их части. Конкретно речь идет об электронах, которые могут возбуждаться и изменять свои квантовые состояния. Таковыми являются лишь электроны с энергией, близкой к энергии Ферми EF. Именно они ответственны за элек-

417

тропроводность металлов, и лишь притяжение между этими электронами необходимо для возникновения сверхпроводимости.

Но это еще не все. Оказывается, не всякие два электрона одинаково притягиваются друг к другу. Фактически одним из основных элементов модели Купера является утверждение, что пару могут создавать два электрона, импульсы которых равны по величине и противоположны по направлению, т.е. полный импульс пары равен нулю.

Не следует, однако, думать, что спаренные электроны "слипаются" друг с другом, образуя единое целое. Размер пары может быть довольно большой - он может составлять величину порядка 10-6 м. В кристалле в таком объеме размещается громадное число электронов, объединенных в пары, так что понятие изолированной пары электронов теряет смысл. Эти пары перекрывают друг друга, образуя единый коллектив - "конденсат". При очень низких температурах это в высшей степени координированное состояние электронов, осуществляющиеся самопроизвольно, потому что выигрыш в энергии для каждой пары превышает потери, связанные с тем, что свобода для отдельных электронов утрачивается. Вот почему сверхпроводящее состояние устойчиво и для его разрушения нужно приложить к сверхпроводнику энергию (тепловую, магнитную, электрическую).

Все пары электронов должны соответствовать друг другу по всем физическим параметрам. В соответствии с положением квантовой механики это означает, что спаренные электроны должны принадлежать к одному и тому же состоянию и иметь одинаковую энергию. "А как же принцип Паули?". Ведь здесь одно состояние занято множеством частиц!!! Ответ прост: мы имеем дело уже не с электронами, а с новыми частицами - куперовскими парами. Электронная пара, которую можно теперь рассматривать как единое целое, является бозоном. А для бозонов принцип запрета Паули не существует. Такие частицы могут в сколь угодно большом количестве занимать одно и то же состояние. Иными словами, куперовские пары проявляют тенденцию накапливания в отдельных состояниях. Заметим, что эти состояния не имеют ничего общего с уровнями энергии отдельных электронов: они могут быть заняты только куперовскими парами.

418

Возникает оптимальное единое распределение куперовских пар, или, как говорят физики, конденсат, вырвать из которого отдельную пару тем труднее, чем больше их находится на этом конденсате.

Вотсутствие внешнего поля все пары вследствие полной корреляции имеют импульс, равный нулю, т.к. они образованы электронами с равными и противоположными импульсами. Однако ситуация мгновенно изменится, если мы поместим совокупность куперовских пар в электрическое поле, скажем, путем приложения к сверхпроводнику внешней разности потенциалов. Пары будут ускоряться в электрическом поле, т.е. получить импульс. Но и этот импульс для всех пар должен быть абсолютно одинаковым.

Возникновение тока не нарушает корреляции пар: под действием внешнего источника, вызвавшего ток, все они приобретают один и тот же импульс и движутся как единый коллектив в одном и том же направлении с некоторой дрейфовой скоростью.

Куперовские пары, пока они не разорваны, рассеиваться на дефектах решетки не могут, т.к. вывод любой из них из строго коррелированного коллектива маловероятен. "Отскакивание" одного из членов пары в сторону при встрече с дефектом решетки компенсируется поведение его "партнера". Компенсируется в том смысле, что суммарный импульс пары электроном остается неизменным.

Пару можно вырвать из конденсата, лишь разрушив ее. Для этого, однако, необходима определенная энергия. Но при низких температурах число фононов, обладающей достаточной энергией для разрушения куперовской пары, очень мало. Поэтому подавляющее большинство куперовских пар сохраняется неразрушенными и может двигаться сквозь решетку не испытывая рассеивания!!!.

Вобразовании куперовских пар решающую роль играют взаимодействие электронов с тепловыми колебаниями решетки - фононами. В твердом теле электроны могут как поглощать, так и порождать фононы. Представим себе следующий процесс: один из электронов взаимодействуя с решеткой, переводит ее в возбужденное состояние и изменяет свой импульс; другой электрон, также взаимодействуя с решеткой, переводит ее в нормальное состояние и тоже изменяет свой импульс. В результате состояние решетки не изменяется, а электроны обмениваются квантами тепловой энергии - фоно-

419

нами. Обменное фононное взаимодействие и вызывает силы притяжения между электронами, которые превосходят силы кулоновского отталкивания.

Рис. 14.16.

Электрон, движущийся среди положительно зараженных ионов, поляризует решетку (рис. 14.16), т.е. электростатическими силами притягивает к себе ближайшие ионы. Благодаря такому смещению ионов, в окрестности траектории электрона локально возрастает плотность положительного заряда. Второй электрон, движущийся вслед за первым, естественно, может притягиваться областью с избыточным положительным зарядом. В результате косвенным образом за счет взаимодействия с решеткой между электронами 1 и 2 возникают силы притяжения. Таким образом и образуется связанная куперовская пара. Поскольку силы притяжения невелики, спаренные электроны слабо локализованы в пространстве. Эффективный диаметр куперовской пары имеет порядок 10-7 м, т.е. охватывает тысячи элементарных ячеек. Эти парные образования перекрывают друг друга, постоянно распадаются и вновь создаются, но в целом все пары образуют электронный конденсат, энергия которого за счет внутреннего взаимодействия меньше, чем у совокупности разобщенных нормальных электронов. Если 2-й электрон движется по поляризованному следу 1-го электрона и при этом имеет пониженную энергию, т.к. решетка уже поляризована, т.е. оба электрона могут иметь одинаковые импульсы, импульсы могут быть и противоположны как у куперовских пар. Образование электронных пар можно объяснить квантовомеханически с помощью обменных взаимодействий.

Электрон - электронное взаимодействие посредством обмена фононом (виртуальным) показано на диаграмме (рис. 14.17), где рассмотрены две равносильные возможности: переход виртуального фонона qr от электрона k′ к

420

электрону kr и переход виртуального фонона − q от электрона kr к электрону kr′.

Рис. 14.17.

Обменные фононы (виртуальные) существуют только при переходе от одного электрона к другому и в отличие от реальных фононов не могут распространяться в решетке независимо от этих электронов.

Виртуальные состояния не являются реальными состояниями. Они существуют столь короткие промежутки времени, что вследствие неопределенности соотношения "энергия - время", сохранение энергии справедливо только для начального и конечного состояний.

Обменные взаимодействия приводят к притяжению. Благодаря такому обмену суммарная энергия системы понижается. Можно привести аналогию с молекулой водорода, где электронный обмен приводит к снижению энергии, а малые расстояния оказываются энергетически более выгодными. Равновесное расстояние получается из требования, чтобы сила притяжения за счет электронного обмена была точно равна силе электростатического отталкивания положительно заряженных протонов.

При определенных условиях, которые выполняются в сверхпроводящем проводнике, такое притяжение между электронами может превышать электростатическое их отталкивание.

Таким образом, благодаря обменному взаимодействию происходит образование куперовских пар и понижение энергии основного состояния (относительно энергии EF).

На энергетическом уровне, соответствующем этому состоянию, происходит конденсация куперовских пар из электронов, которые (пары) теперь являются бозе-частицами или бозонами, которые описываются симметрич-