u_lectures

271

Из выражений (11.19a) следует, что угловая ширина дифракционных максимумов обратно пропорциональна ширине решётки (Nd) и с увеличением m увеличивается. Увеличение связано с тем, что для больших значений m уменьшается эквивалентная ширина дифракционной решётки Lэкв, которая представляет собой проекцию дифракционной решётки на направление, перпендикулярное на-

правлению m-ого дифракционного Рис. 11.38 максимума (рис. 11.38).

Исходя из (11.18) и (11.19), определим направление φm середины максимума m-ого порядка, соответствующего длине волны λ+∆λ

sin ϕmax = m(λ + λ)/ d (11.20а)

и направления края максимума m-ого порядка, соответствующего длине волны λ

sin ϕmin = (m ±1/ Ν)λ/ d (11.20b)

Равенство направлений на середину максимума и края минимума (φmax=φmin) двух спектральных составляющих возможно, если выполнены условия равенства выражений (11.20):

m(λ + λ)= (m ±1/ Ν)λ/ d

11. 15. Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

Для практики наиболее интересен случай дифракции света, когда препятствие оставляет открытой лишь малую часть 1-й зоны Френеля. Этот случай реализуется при условии

m = R 2 <<1 или R 2 << Lλ Lλ

т. е. дифракционную картину от препятствий небольшого размера следует в этом случае наблюдать на очень больших расстояниях. Например, если R = 1 мм, λ = 550 нм (зеленый свет), то расстояние L до плоскости наблюдения должно быть значительно больше 2 метров (т. е. минимум 10 метров или больше). Лучи проведенные в далекую точку наблюдения от различных элементов волнового фронта, практически можно считать параллельными. Этот случай дифракции так и называется – дифракция в параллельных лучах. Если

272

на пути лучей за препятствием поставить собирающую линзу, то параллельный пучок лучей, дифрагировавший на препятствии под углом Θ, соберется в некоторой точке фокальной плоскости (рис.11.39). Следовательно, любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке в отсутствие линзы.

В фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина Фраунгофера. Но согласно геометрической оптике, в фокусе линзы должно располагаться точечное изображение удаленного точечного предмета. На самом деле изображение точечного предмета оказывается размытым из-за дифракции. В этом проявляется волновая природа света.

Никакая оптическая система не может дать точечного изображения. В случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D дифракционное изображение состоит из центрального светлого пятна (диск Эйри), на которое приходится приблизительно 85 % энергии света, и окружающих его светлых и темных колец (рис. 11.40). Это дифракционное пятно и принимается за изображение точечного источника.

Радиус центрального пятна в фокальной плоскости линзы равен r =1,22 Dλ F

Если лучи света от удаленного источника падают на линзу непосредственно, то роль экрана, на котором дифрагирует свет, выполняет оправа линзы. В этом случае под D нужно понимать диаметр линзы.

Размер дифракционных изображений очень мал. Например, радиус центрального светлого пятна в фокальной плоскости линзы диаметром D = 5 см с фокусным расстоянием F = 50 см в монохроматическом свете с длиной волны λ = 500 нм приблизительно равен 0,006 мм. Во многих оптических устройствах (фотоаппараты, проекторы и т. д.) дифракционное размытие изображений маскируется значительно более сильными искажениями изза несовершенства оптики. Но в высокоточных астрономических приборах реализуется дифракционный предел качества изображений. Вследствие дифракционного размытия изображения двух близких точек объекта могут оказаться неотличимы от изображения одной точки. Рассмотрим в качестве примера объектив астрономического телескопа, нацеленного на две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии Ψ друг от друга. Предполагает-

273

ся, что все дефекты и аберрации устранены, и в фокальной плоскости объектива наблюдаются дифракционные изображения звезд (рис. 11.41).

Рис. 11.39. Рис.11.40.

На рис. 11.41 расстояние l между центрами дифракционных изображений звезд превышает радиус r центрального светлого пятна – в этом случае изображения звезд воспринимаются наблюдателем раздельно и, следовательно, объектив телескопа позволяет разрешить две близкие звезды. При уменьшении углового расстояния Ψ между звездами дифракционные изображения могут сильно перекрыться и перестанут отличаться от изображения одиночной звезды. В этом случае объектив телескопа не разрешает близкие звезды.

Английский физик Дж. Релей в конце XIX в. предложил условно считать разрешение полным, когда расстояния l между центрами изображений

равно (или превышает) радиус r диска Эйри (рис. 11.42). Условие l=r называют критерием разрешения Релея. Из этого критерия следует:

lmin = Ψmin F =1,22 Dλ F или Ψmin =1,22 Dλ

Телескоп с диаметром объектива D = 1 м способен разрешать две звезды, находящиеся на угловом расстоянии Ψmin = 6,7·10–7 рад (для λ = 550 нм).

Космический телескоп Хаббла, выведенный на орбиту в 1990 году, имеет зеркало диаметром D = 2,40 м. Предельное угловое разрешение этого телескопа по длине волны λ = 550 нм равно: Ψmin = 2,8·10–7 рад. На работу космического телескопа не оказывают влияния атмосферные возмущения.

274

Для характеристики объектива телескопа можно ввести величину R обратную предельному углу Ψmin. Эту величину называют разрешающей силой телескопа:

Для увеличения разрешающей способности телескопа следует увеличивать диаметр объектива (либо переходить к более коротким волнам). Все сказанное выше о разрешающей способности телескопа применимо и к невооруженному глазу. Глаз при рассматривании удаленных предметов действует так же, как и объектив телескопа. Роль D играет диаметр зрачка глаза dзр. Полагая dзр = 3 мм, λ = 550 нм, найдем для предельного углового разрешения глаза

Ψ =1,22 λ = 2,3 10-4 рад = 47" ≈1'

Этот результат хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, выполненной исходя из размеров светочувствительных элементов сетчатки (палочек и колбочек).

Теперь можно сделать один общий вывод: световой пучок диаметром D и длиной волны λ вследствие волновой природы света испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина φ пучка оказывается порядка

λ/D, так что полная ширина d пучка на расстоянии L приблизительно равна d = D + 2 Dλ L

275

Рис. 11.43 качественно показывает, как по мере удаления от препятствия трансформируется пучок света.

Оценки, выполненные на рис. 11.43, показывают, что угловое расхождение пучка уменьшается при увеличении его первоначального поперечного размера D. Этот вывод справедлив для волн любой физической природы. Чтобы, например, послать «узкий» пучок лазерного излучения на Луну, нужно сначала его расширить. Это достигается с помощью телескопа, когда лазерный пучок направляется в окуляр и затем, пройдя через телескоп, выходит из объектива, имея диаметр D (рис. 11.44).

Такой расширенный пучок, дойдя до Луны, «засветит» на ее поверхности пятно радиусом R=λL/D где L– расстояние до Луны. Приняв D = 2,5 м (телескоп-рефлектор Крымской обсерватории), λ = 550 нм, L = 4·106 м, получим R ≈ 90 м. Если бы на Луну был направлен первоначальный пучок лазерного света, имеющий диаметр порядка 1 см, то он «засветил» бы на Луне пятно, радиус которого оказался бы в 250 раз больше.

Разрешающая способность дифракционной решётки определяется безразмерной величиной

R = λ/ δλ,

где δλ - минимальная разность длин волн спектральных составляющих источника излучения, при которых эти составляющие ещё воспринимаются раздельно. Учитывая формулу (11.20b) получим:

R = λ/δλ = mΝ

276

Из этой формулы следует, что предельное разрешение дифракционной решетки зависит только от порядка спектра m и от числа периодов решетки N. Чем больше число щелей N и чем больше порядок дифракционного максимума m, который используется для разрешения спектральных компонент. Физическая причина такой зависимости разрешающей способности от N и m очевидна ввиду того, что при увеличении N сужаются дифракционные максимумы, а при увеличении m увеличивается угловая дисперсия дифракционной решётки, благодаря чему облегчается раздельное восприятие разрешаемых спектральных компонент.

Дифракционные решётки могут быть использованы для наблюдений, как в проходящем свете, так и в отражённом. Для изготовления дифракционных решёток используют специальную технологию нанесения штрихов на поверхность стекла или металла. Количество штрихов может достигать несколько сотен тысяч. Для металлических решёток штрихи могут наноситься на вогнутую поверхность и в этом случае дифракционные решётки называются вогнутыми. Применение металла для изготовления дифракционных решёток имеет определённые преимущества перед использованием стекла для этих целей. Главное из них возможность более строгого соблюдения периодичности нанесения штрихов на поверхности решётки. Это является следствием меньшей твёрдости металла по сравнению со стеклом, в результате чего меньше изнашивается резец, наносящий штрихи, и периодичность на поверхности металлической дифракционной решётки выдерживается лучше, чем на поверхности стеклянной. Изготовленные высококачественные металлические дифракционные решётки используются для применения более дешёвых копий путём изготовления их отпечатков на желатине. Первая дифракционная решётка была изготовлена в 1785г. американским астрономом Риттенгаузом, но по прямому назначению не использовалась. В 1821г. дифракционная решётка была изготовлена Фраунгофером для спектральных исследований солнечного излучения. Дифракционная решётка Фраунгофера имела порядка нескольких сотен штрихов на сантиметр и изготавливалась путём намотки тонкой проволоки на два параллельных винта. Дальнейшее развитие технологии изготовления дифракционных решёток сделали возможным получение решёток с несколькими десятками тысяч штрихов на сантиметр.

С помощью микроскопа наблюдают близко расположенные объекты, поэтому разрешающая способность микроскопа характеризуется не угловым, а линейным расстоянием между двумя близкими точками, которые еще могут восприниматься раздельно. Наблюдаемый объект располагается вблизи переднего фокуса объектива. Часто пространство перед объективом заполняется специальной прозрачной жидкостью – иммерсией (рис. 11.45).

277

В плоскости, геометрически сопряженной объекту, располагается его увеличенное изображение, которое рассматривается глазом через окуляр. Изображение каждой точки оказывается размытым вследствие дифракции света.

Впервые предел разрешения объектива микроскопа был определен немецким

физиком Г. Гельмгольцем (1874 г.).

Рис. 11.45

Здесь λ– длина волны, n– показатель преломления иммерсионной жидкости, α – так называемый апертурный угол (рис. 11.45). Величина n sin α называется числовой апертурой.

Ухороших микроскопов апертурный угол α близок к своему пределу:

α≈ π / 2. Как видно из формулы Гельмгольца, применение иммерсии несколько улучшает предел разрешения. Полагая для оценок sin α ≈ 1, n≈ 1,5, получим:

lmin ≈0,4λ.

Таким образом, с помощью микроскопа принципиально невозможно рассмотреть какие-либо детали, размер которых значительно меньше длины света. Волновые свойства света определяют предел качества изображения объекта, полученного с помощью любой оптической системы.

Лекция №13, 14 (Тема 45, 46)

11.13.Представление о поляризация света

Вначале XIX века, когда Т. Юнг и О. Френель развивали волновую теорию света, природа световых волн была неизвестна. На первом этапе предполагалось, что свет представляет собой продольные волны, распро-

278

страняющиеся в некоторой гипотетической среде – эфире. При изучении явлений интерференции и дифракции вопрос о том, являются ли световые волны продольными или поперечными, имел второстепенное значение. В то время казалось невероятным, что свет – это поперечные волны, так как по аналогии с механическими волнами пришлось бы предполагать, что эфир – это твердое тело (поперечные механические волны не могут распространяться в газообразной или жидкой среде). Впервые догадку о поперечности световых волн высказал Т. Юнг (1816 г.) и О. Френель, независимо от Юнга, также выдвинул концепцию поперечности световых волн, обосновал ее многочисленными экспериментами и создал теорию двойного лучепреломления света в кристаллах.

Всередине 60-х годов XIX века Максвелл сделал вывод о том, что свет

–это электромагнитные волны. Этот вывод был сделан на основе совпадения известного значения скорости света со скоростью распространения предсказанных Максвеллом электромагнитных волн. К тому времени, когда Максвелл сделал вывод о существовании электромагнитных волн, поперечность световых волн уже была доказано экспериментально. Поэтому Максвелл справедливо полагал, что поперечность электромагнитных волн является еще одним важнейшим доказательством электромагнитной природы света.

Вэлектромагнитной теории света исчезли все затруднения, связанные с необходимостью введения особой среды распространения волн – эфира, который приходилось рассматривать как твердое тело.

В электромагнитной волне вектора Еи H перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Во всех процессах взаимодействия света с веществом основную роль играет электрический вектор Е, поэтому его называют световым вектором.

11.14. Основные характеристики поляризованного света

Свет, у которого направления колебаний вектора Е упорядочены ка- ким-то образом, называется поляризованным.

Световая волна - это электромагнитная волна, у которой вектор Евсегда перпендикулярен направлению распространения. Естественный свет - это смесь огромного числа цугов, каждый цуг поляризован, но направления век-

279

торов этих цугов различное (рис. 11.46). Поэтому естественный свет не поляризован, у него отсутствует какое-либо упорядочение направлений колебаний вектора Е.

В зависимости от характера колебаний вектора напряжённости электрического поля плоской монохроматической электромагнитной волны поляризация волны может быть линейной, круговой и эллиптической.

Электромагнитная волна, у которой вектор Е, либо Н колеблется в одной плоскости, называется плоско поляризованной.

В линейно поляризованной волне колебания вектора напряжённости электрического поля совершаются вдоль линии, расположенной в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. На рис. 11.47a изображена ориентация векторов напряжённости электрического Е и магнитного Н полей линейно поляризованной плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОZ с колебаниями вектора Е под углом α к оси OY. В этом случае электромагнитную волну называют также плоскополяризованной. Плоскость поляризации, обозначенная символом ∏ на рис. 11.47a, определяется направлением распространения волны и направлением колебаний вектора напряжённости электрического поля.

Рис.11.46

В волне, поляризованной по кругу, вектор напряжённости электрического поля Е вращается по кругу в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, которое совпадает с осью OZ (рис. 11.47b). Вектор напряжённости магнитного поля Н этой волны не изображённый на рис. 11.47b в целях его упрощения, также вращается по кругу и одновременно колеблется в направлении, перпендикулярном направлению колебаний вектора Е.

280

Рис. 11.47

Как следует из рис. 11.47b, плоская монохроматическая волна, поляризованная по кругу, может быть представлена в виде суммы двух плоских монохроматических когерентных волн, вектора напряжённости Еx и Еy , кото-

рых колеблются в двух взаимно перпендикулярных направлениях с одинаковой амплитудой и имеют начальные фазы колебаний, отличающиеся на 900 .

Действительно, пусть имеются две электромагнитные волны, распространяющиеся в одном направлении, в качестве которого выбрана ось OZ, одна из которых поляризована вдоль оси OX, другая - вдоль оси OY, колебания векторов напряжённости электрического поля которых определяются выражениями:

v 2

где ex е - единичные векторы в направлении осей OX и OY декартовой сис-

темы координат XYZ.

Для определения закона колебаний вектора напряжённости электрического поля электромагнитной волны, представляющей собой сумму двух волн, определяемых (11.21а), найдём угол наклона φ суммы векторов напря-

жённостей этих волн из следующего соотношения:

Из выражения (11.21b) следует, что вектор напряжённости электрического поля электромагнитной волны Е, представляющей собой сумму двух волн, определяемых (11.21a). Волны направлен под углом ϕ = at к оси OX (рис. 11.47b), изменяющимся пропорционально времени t с коэффициентом пропорциональности, равным угловой частоте электромагнитной волны ω.

Следовательно, вектор напряжённости электрического поля рассматриваемой r

электромагнитной волны Евращается с круговой частотой ω вокруг направления распространения электромагнитной волны в плоскости, перпендикулярной этому направлению.