u_lectures

261

такие зоны Френеля, которые располагаются внутри отверстия. Соответственно зоны Френеля, попадающие на поверхность непрозрачного экрана, называются закрытыми.

Если размер отверстия во много раз меньше расстояний от экрана до источника a и от экрана до точки наблюдения b (r0<<a; r0<<b), то в соответствии с (11.10c) можно найти число m открытых отверстием зон Френеля:

Применяя тот же подход, что и при выводе выражения (11.12), получим в точке наблюдения P:

E(P)= E1 − E2 + E3 − E4 +... ± Em = 0.5(E1 ± Em )...

где E(P)= E1 , E2 , E3 , E4 ,..., Em - амплитуды волн от открытых отверстием зон

Френеля, причём, знак плюс берётся для нечётных зон, а минус - для чётных. Как отмечалось ранее, амплитуды волн зон Френеля при их небольшом числе можно считать примерно одинаковыми. По этой причине в точке P будет либо максимум, либо минимум интенсивности дифрагированной волны от отверстия в зависимости соответственно от нечётности или чётности чис-

ла открытых зон Френеля.

Заметим, что без экрана с отверстием амплитуда поля в точке наблюдения равна E(P)=0,5E1. Таким образом, благодаря явлению дифракции света на экране с отверстием, открывающем небольшое нечётное число зон Френеля, наблюдается увеличение интенсивности падающего на него света почти в два раза.

Рис. 11.25

263

Интенсивность света в максимумах по мере удаления от центральной точки будет убывать. Убывание объясняется тем, что при смещении точки наблюдения P1 из центра на периферию открытые из точки P центральные зоны Френеля частично «закрываются» (рис. 11.28) и, кроме того, частично открываются новые зоны Френеля, ослабляющие интенсивность света в точке наблюдения.

Рассмотрим вид дифракционной картины в зависимости от размера отверстия.

Если размер отверстия во много раз меньше первой зоны Френеля, то наблюдается размытое светлое пятно без каких либо колец. Если отверстие открывает «много» зон Френеля, то дифракционные кольца наблюдаются в узкой области на границе свет тень. А в остальной части экрана наблюдается практически равномерное освещение экрана, за исключением области геометрической тени, где освещённость отсутствует.

Рис. 11.28.

Дифракционная картина от диска, наблюдаемая на экране (рис. 11.29), имеет характер чередующихся тёмных и светлых колец, в центре которых находится светлое пятно. Структура дифракционной картины света от непрозрачного диска имеет общие черты с дифракционной картиной света от отверстия того же диаметра в непрозрачном экране.

264

Рис. 11.29

волны за диском равна интенсивности волны источника в отсутствии диска. Если же диск закрывает две зоны Френеля, то в соответствии с принципом Бабине в центре дифракционной картины диска амплитуда волны определяется амплитудой волны источника, когда нет никакого экрана, поскольку амплитуду волны, создаваемой отверстием того же диаметра, что и диск, приближённо можно полагать равной нулю. Проведенные рассуждения, очевидно, справедливы для диска, открывающего произвольное число

(не очень большое) чётных или нечётных зон Френеля.

Таким образом, амплитуда волны в центре дифракционной картины от диска любого размера равна половине амплитуды волны от первой открытой зоны Френеля, что совпадает с результатом проведенных выше расчётов. На периферии дифракционной картины от диска распределение интенсивности в основном определяется амплитудой волны источника, на которую «накладываются» затухающие по мере удаления от центра картины колебания волн от частично открытых зон Френеля отверстием в непрозрачном экране того же диаметра, что и рассматриваемый диск.

Рассмотрим вид дифракционной картины в зависимости от размера диска. Если размер диска во много раз меньше первой зоны Френеля, то наблюдается практически равномерное освещение экрана - диск как бы не отбрасывает тени. Если размер диска закрывает «много» зон Френеля, в центре дифракционной картины светлого пятна практически не видно т.к. Em << E1, освещённость картины в области геометрической тени практически равна нулю, а дифракционные кольца наблюдаются узкой области на границе свет тень.

11. 11. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Немецкий физик И. Фраунгофер рассмотрел дифракцию плоских световых волн, или дифракцию в параллельных лучах.

265

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от длинной щели (длина щели должна быть значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной а=МN (рис.11.30). Оптическая разность хода между крайними лучами МС и

где F - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на луч ND. Разобьем открытую часть волновой поверхности в плоскости щели МN

на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается так, чтобы разность хода от краев этих зон была равна λ/2 , т.е. всего на ширине щели уместится :λ/2 зон. Так как свет на щель падает нормально, то плоскость щели совпадает с фронтом волны; следовательно, все точки фронта в плоскости щели будут колебаться в одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели будут равны, т.к. выбранные зоны Френеля имеют одинаковые площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения.

Из выражения (11.13) вытекает, что число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит от угла ϕ. От числа зон Френеля, в свою очередь, зависит результат наложения всех вторичных волн. Из приведенного построения следует, что при интерференции света в каждой паре соседних зон Френеля амплитуда результирующих колебаний равна нулю, т.к. колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга. Следовательно, если число зон Френеля четное

где ( m=1, 2, 3,...).

Рис. 11.30

Следовательно, точке В наблюдается дифракционный минимум (полная темнота); если же число зон Френеля нечетное

266

где (m=1, 2, 3,...),то наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной неcкомпенсированной зоны Френеля. Отметим, что в прямом направлении (ϕ=0) щель действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью, т.е. в точке В0 наблюдается центральный дифракционный максимум.

Из условий (11.14) можно найти направления на точки экрана, в которых амплитуда (и интенсивность) равна нулю (sinϕ min = ± mλ/a) или максимальна (sinϕ мах = ±(2m+1)λ/(2a)). Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие дифракции (дифракционный спектр), приведено на рис. 11.30б.

Расчеты показывают, что основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. Из опыта и соответствующих расчетов следует, что сужение щели приводит к тому, что центральный максимум расплывается, а его яркость уменьшается. И наоборот: чем шире щель (а >λ), тем картина ярче, но дифракционные полосы уже, а число самих полос больше. При a >> λ в центре получается резкое изображение источника света, т.е. имеет место прямолинейное распространение света.

Положение дифракционных максимумов зависит от длины волны λ, поэтому рассмотренный вид дифракционная картина имеет лишь для монохроматического света. При освещении щели белым светом центральный максимум имеет вид белой полоски; он общий для всех длин волн (при ϕ=0 разность хода равна нулю для всех λ). Боковые максимумы радужно окрашены, т.к. условие максимума при любых m различно для разных λ .Таким образом, справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы первого (m=1), второго (m=2) и других порядков, обращенные фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.

11.12. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Большое практическое значение имеет дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную дифракционную решетку - систему параллельных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. Рассматривая дифракцию Фраунгофера на щели, видим, что распределение интенсивности на экране определяется направлением дифрагированных лучей. Это означает, что перемещение щели параллельно самой себе влево или вправо не изменит дифракционной картины.

267

Следовательно, если перейти от одной щели ко многим (к дифракционной решетке), то дифракционные картины, создаваемые каждой щелью в отдельности, будут одинаковыми.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей. Периодическая система одинаковых, расположенных на одном и том же расстоянии друг от друга щелей, называется дифракционной решёткой (рис.11.31). Расстояние d (рис.11.31) между серединами соседних щелей называется периодом дифракционной решётки. Если ширина каждой щели равна а, а ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина d=а+b называется постоянной (периодом) дифракционной решетки.

Обычно в дифракционных решётках, используемых в оптике, щели являются узкими, т.е. их размер b во много раз меньше периода дифракционной решётки d(b<<d). Размер дифракционной решётки, состоящей из N узких щелей, называется её шириной L и вычисляется по формуле L=dN (рис.11.32).

Рис. 11.31. Рис. 11.32

При освещении дифракционной решётки плоской световой волной с длинной волны λ, нормально падающей на решётку, на достаточно большом расстоянии от решётки наблюдается дифракционная картина, которая может наблюдаться и на конечном расстоянии с помощью выпуклой линзы на плоском экране, помещённом в её фокусе (рис. 11.33).

Пусть радиус пространственной когерентности падающей электромагнитной волны ρc >> L. В этом случае в точке наблюдения P волны от каждой из щелей будут когерентными и комплексная амплитуда, испытавшей дифракцию волны, будет равна сумме комплексных амплитуд волн от каждой из щелей.

Рассмотрим дифракционную картину, создаваемую световым потоком.

268

Комплексные амплитуды волн от каждой из щелей решётки, учиты-

вающей угловой направленности одинаковых щелей, различаются друг от друга только фазовым множителем. Причём, фазы волн от соседних щелей отличаются на одинаковую величину ∆ (рис.11.33):

где φ - угол в направлении точки наблюдения P, k = 2π/λ - волновое число. Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не рас-

пространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях, т.е главные минимумы интенсивности будут наблюдаться в направлениях, определяемых условием

Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они будут гасить друг друга, т.е. возникнут дополнительные минимумы.

Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут наблюдаться в тех направлениях, которым соответствует раз-

Рис. 11.33

И наоборот: действие одной щели будет усиливать действие другой,

где (m=0, 1, 2 ,3 ,...), выражение (11.16) является условием главных максимумов.

Характер распределения интенсивности представляет собой чередование главных дифракционных максимумов, между которыми располагаются побочные дифракционные максимумы и минимумы (рис. 11.34, 11.35).

270

Свойство дифракционной решётки разделять в пространстве различные спектральные составляющие падающего на неё излучения позволяет её использовать в качестве спектрального прибора, с помощью которого можно исследовать спектры различных источников излучения.

ляющих источника излучения был предложен Рэлеем. В соответствии с этим критерием, два дифракционных максимума воспринимаются раздельно, если середина одного максимума совпадает с краем (минимумом) другого (рис.11.36). Такому взаимному расположению разрешаемых максимумов одинаковой интенсивностей соответствует пресечение их распределений на уроне половины от максимального значения (рис.11.36).

Найдём угловую ширину дифракционного максимума m порядка ∆φm.

где k'- принимает все целые значения кроме 0,±N,±2N,±3N,...

С учётом того, что ближайшие к m-ому максимуму нули соответствуют значениям k'=±1, получаем:

ϕm = arcsin[(m +1/ Ν)λ / d]−arcsin[(m −1/ Ν)λ / d]

При большом числе щелей m >> 1,с помощью дифференцирования находим: