Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

2. Скорость

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту движения.

(В этой формуле представлены различные варианты обозначения производной радиуса-вектора по времени. В последующих разделах и главах мы будем писать

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории.

Средняя путевая скорость

vпут St .

В дальнейшем под словом «скорость» мы будем понимать мгновенную скорость, если не оговорено иное.

Выразим вектор мгновенной скорости через проекции на оси декартовой системы координат:

8 Здесь и далее в конспекте лекций квадратные скобки в подобном контексте означают единицы измерения данной величины в СИ.

21

Обратная задача

ной точки в начальный момент времени.

Выражение (1.1) можно записать и в координатной форме.

22

Лекция 2

1.2.3. Кинематические параметры (продолжение)

3. Ускорение

Ускорение – векторная величина, характеризующая скорость изменения скорости материальной точки.

Среднее ускорение:

a vt ;

Мгновенное ускорение в проекциях на оси декартовой системы координат:

Обратная задача

Дано a t , найти v t и r t .

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ9

9 В этом разделе не приводится пример расчёта скорости, ускорения, модуля радиуса-вектора и т. д. из-за нехватки времени. Простые примеры на эту тему следует рассмотреть на практических занятиях.

23

рии в сторону её вогнутости (см. РИС. 2.1).

Разложим векторы скорости и ускорения по осям естественной системы координат:

Разберёмся, чему равны слагаемые в формуле (2.2). Любую кривую в любой её точке можно представить как дугу окружности радиуса ρ – радиуса кривизны траектории (РИС. 2.2).

10 Следует помнить, что на рис. 2.2 угол α мал. При малом α τ практически параллелен n .

24

1.3. Кинематика твёрдого тела

1.3.1. Виды движения

1.Поступательное движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях так, что прямая, соединяющая любые две точки этого тела, перемещается параллельно самой себе.

2.Вращение вокруг неподвижной оси (вращательное движение) – движение,

при котором все точки тела движутся по окружностям, лежащим в параллельных плоскостях, таким, что центры этих окружностей лежат на одной прямой,

называемой осью вращения.

3.Сферическое движение (вращение вокруг неподвижной точки) – движе-

ние, при котором все точки тела движутся по сферам, центры которых находятся в одной точке, называемой центром вращения.

4.Плоское движение – движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях.

Плоское движение = поступательное движение + вращательное движение (см.

разделы 1.7.1 и 1.8.1).

5.Другие случаи – сложное движение11.

Демонстрации: 1) Поступательное и вращательное движение

2)Искры от точила

3)Циклоида

4)Гироскоп12

Введённых нами ВЫШЕ кинематических величин недостаточно для характеристики движения твёрдого тела (кроме поступательного).

1.3.2. Угловые кинематические параметры

Введём величины, характеризующие вращательное движение твёрдого тела в целом, а не отдельных его точек. Такие величины будут аксиальными векторами.

1. Угловое перемещение

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси z. Точка A этого тела находится на расстоянии r от оси вращения (РИС. 2.3). За некоторое время тело повернулось так, что точка A переместилась по дуге окружности радиуса r в положение A . При

11На практических занятиях рассматривается поступательное движение, вращение вокруг неподвижной оси и плоское движение. Сферическое движение и общий случай сложного движения и в лекционном курсе будут затронуты мало.

12Движение гироскопа демонстрируется не как пример выполнения закона сохранения момента

импульса, а лишь как пример сферического движения твёрдого тела.

25

этом отрезок OA (точка O – центр окружности, по которой движется точка A) повернулся на угол φ.

мерения углового перемещения!)

2. Угловая скорость

Угловая скорость – векторная величина, характеризующая быстроту и направление вращения;

3. Угловое ускорение

Угловое ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту и направление изменения угловой скорости;

ки проекций этих векторов на ось вращения могут быть различны.

4. Частота вращения

Частота вращения – скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная числу оборотов тела вокруг оси вращения за единичный промежуток времени;

26

5. Период вращения

Период вращения – скалярная положительная величина, характеризующая быстроту вращения, равная времени, за которое вращающееся тело совершает один полный оборот вокруг оси вращения;

1.3.3. Связь между линейными и угловыми кинематическими параметрами

Рис. 2.4

(Значки , на РИС. 2.4 означают направление вектора, перпендикулярного плоскости чертежа – соответственно «на нас» и «от нас».)

(направление можно проверить по РИС. 2.4А). Здесь квадратные скобки означают векторное произведение векторов. (Следует помнить о том, что векторное произ-

ведение антикоммутативно!)

Формула (2.4) справедлива и в произвольном случае сложного движения. Тогда v ωr sin ω,r .

Выразим компоненты линейного ускорения (т. е. ускорения точки M), воспользовавшись формулой (2.3):

aτ dv d ωr r dω ωdr εr , dt dt dt dt

0

29

Масса – физическая величина – характеристика тела, являющаяся мерой его инертности.

1.4.3. Сила

Сила – векторная величина – мера воздействия на данное тело другого объекта. Каждая сила описывает действие какого-либо объекта.

Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлена сила.

Силовая линия – кривая, касательные к которой в каждой её точке совпадают по направлению с силой.

ПРИМЕР

Силовые линии гравитационного поля Земли (РИС. 3.3)

m

O

Рис. 3.3

Равнодействующая сила (главный вектор) – векторная сумма всех сил, описы-

вающих действие на данное тело других объектов:

n

FFi

i1

(здесь n – число воздействующих объектов).

Принцип независимости действия сил: если на материальную точку одновре-

менно действует n объектов, то ускорение этой точки

вектор сил, с которыми другие объекты действуют на данную точку). В проекции на оси декартовой системы координат это уравнение представляется в виде трёх дифференциальных уравнений