2. Особые случаи расположения плоскости в пространстве

Следующие утверждения проверяются непосредственно.

Если в общем уравнении (2) плоскости отсутствует переменная то эта плоскость параллельна осиАналогичное утверждение справедливо относительно и других переменных

Если в общем уравнении (2) отсутствует свободный член то соответствующая плоскость проходит через начало координат

Простейшие уравнения являются уравнениями координатных плоскостейсоответственно.

3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости Эти плоскости будут параллельны или перпендикулярны друг другу, если будут параллельны (соответственно перпендикулярны) их нормальные векторыВспоминая условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, получаем следующие утверждения.

Замечание 1. Если то плоскостиисовпадают.

Углом между двумя плоскостями называется двугранный угол между ними. Таких углов четыре, вертикальные из них попарно равны. Ясно, что один из них равен углу между нормалями иИспользуя скалярное произведение между векторами, найдем этот угол:

Другой двугранный угол будет равен

4. Решение различных задач на плоскость

Используя скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, легко обосновать следующие утверждения.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно плоскости,имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно двум плоскостям имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки не лежащие на одной прямой, имеет вид

Действительно, последнее равенство есть условие компланарности векторов а,значит, их смешанное произведение что и записано с помощью определителя выше.

5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано общее уравнение плоскости

Определение 1. Число где знак берется противоположным знаку

свободного члена называетсянормирующим множителем плоскости Уравнение

называется нормальным уравнением плоскости

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если фиксированная точка, то её расстояние до плоскостивычисляется по формуле т.е. равно по модулю результату подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости

Пример 1. Найти расстояние от точки до плоскости

Решение. Нормирующим множителем для данной плоскости будет

Он противоположен по знаку свободному члену Значит, нормальное уравнение плоскости будет таким:а расстояние от точкидо плоскости будет равным

Замечание 2. Величина называется отклонением точки от плоскости Можно показать, что если то точкаи начало координатнаходятся по одну сторону от плоскостиесли жето точкиинаходятся по разные стороны от плоскостиесли жетоЗаметим также, что часто нормальное уравнение плоскости записывают в виде

где Тогданаправляющие косинусы нормали к плоскости.

6. Прямая в пространстве

Прямой в пространстве называют линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Значит, прямая в пространстве задается системой уравнений

при условии отсутствия пропорциональности между коэффициентами линейных уравнений, входящих в систему (3). Однако наиболее распространенным уравнением прямой являютсяканоническое уравнение. Выведем его

Определение 2. Вектор параллельный прямойназываетсянаправляющим вектором этой прямой.

Теорема 3. Если фиксированная точка прямойа направляющий вектор этой прямой, то любая точка связана уравнением

Уравнение (4) называют каноническим уравнением прямой

Доказательство. Вектор коллинеарен вектору= а, значит, их координаты пропорциональны, т.е. имеют место равенства (4). Если же точка не лежит на прямой то векторы

и не коллинеарны, поэтому равенства (4) не имеют места. Теорема доказана.

Если приравнять равные отношения (4) коэффициенту пропорциональности то получим уравнения

задающие прямую параметрически (здесьпараметр). Изменяямы получим все точки

прямой (например, приполучает точку).

Как получить из системы уравнений (3) канонические уравнения прямой ? Пустьпроизвольная точка, удовлетворяющая системе (3) (ее можно получить, например, фиксируя произвольным образом координату , а затем решить полученную систему уравнений с двумя неизвестными). Далее, векторыиперпендикулярно соответствующим плоскостям в (3), а, значит, векторное призведениепараллельно их общей прямой – линии их пересечения. Отсюда следует, чтонаправляющий вектор прямой. Поскольку

то кононическим уравнением прямой будет уравнение

Ясно, что углом между двумя прямымии(точнее, одним из них; обычно берутострый угол) является угол между их направляющими векторами, поэтому

где направляющий вектор прямойанаправляющий вектор прямойПри этом еслито угол между прямыми будет острый. Из последней формулы получаем следующие утверждения.

Используя полученные сведения о прямой и плоскости, можно без труда решать различные задачи аналитической геометрии. Решим, например, задачу о нахождении точки пересечения прямой (5) и плоскости (2). Подставляя равенства (5) в уравнение (2), получим уравнение решая которое, найдем параметрпри котором происходит пересечение прямой и плоскости. Подставляя его в (5), найдем точку пересечения

Лекция 3. Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы специального вида. Квадратные матрицы и их определители. Свойства определителей. Обратные матрица и условие ее существования. Ранг матрицы

В теории систем линейных уравнений, в дифференциальных уравнениях и др. математичеких объектах большую роль играют матрицы – таблицы чисел, с помощью которых можно не только компактно записать системы уравнений, но и, производя над ними определенные действия, решать сами уравнения. Перейдем к изложению основных понятий и утверждений, связанным с матрицами.