2.2. Эквивалентные бесконечно малые.

Функции и называют бесконечно малыми при , если и 

Функции и называют эквивалентными бесконечно малыми при , если 

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при .

Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .

2.3. Бесконечно большие функции.

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо 

2.4. Асимптоты графика функции.

Определение. Асимптотой графика функции  называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки  графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные , горизонтальные , наклонные .

Очевидно, горизонтальные являются частными случаями наклонных (при ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нахождение асимптот графика функции основано на следующих утверждениях.

Теорема 1. Пусть функция определена хотя бы в некоторой полуокрестности точкии хотя бы один из ее односторонних пределов в этой точке бесконечен, т.е. равенили. Тогда прямаяявляется вертикальной асимптотой графика функции.

Таким образом,  вертикальные асимптоты графика функции следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения (если это конечные числа).

Теорема 2. Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существует конечный предел функции . Тогда прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

Может случиться, что , а , причем  и   конечные числа, тогда график имеет две различные горизонтальные асимптоты: левостороннюю и правостороннюю. Если же существует лишь один из конечных пределов  или , то график имеет либо одну левостороннюю, либо одну правостороннюю горизонтальную асимптоту.

Теорема 3. Пусть функция  определена при значениях аргумента, достаточно больших по абсолютной величине, и существуют конечные пределы   и . Тогда прямая  является наклонной асимптотой графика функции .

Заметим, что если хотя бы один из указанных пределов бесконечен, то наклонной асимптоты нет.

Наклонная асимптота так же, как и горизонтальная, может быть односторонней.

3 Вопрос: Арифметические действия с пределами. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о пределе промежуточной функции.

3.1. Арифметические действия с пределами.

3.2. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема о переходе к пределу в равенстве

Если  на   и существует , то существует  и .

ПРИМЕР. Поскольку  для  и , то .

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)

Если  или   на  и существуют – к.ч. и  – к.ч., то .

Доказательство можно провести методом от противного.  Рекомендуем провести самостоятельно.

ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)

Если существуют пределы  и  и выполняется неравенство , то существует окрестность ,  на которой .

Доказательство. Имеем

,

в частности, при  :  , т.е. . Аналогично

,

в частности, при  , т.е.  или .

Поскольку при  , то на пересечении окрестностей  имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.

Следствие. Если  – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .