Лекция 1_09 (без рис

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН» (РАЗДЕЛ «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА» ).

Для студентов по специальности «Радиофизика и электроника» Ред. 2009 г.

Лектор Пермяков В.А.

ЛЕКЦИЯ 1

Цели и содержание курса. Элементарные заряды и токи. Уравнения Максвелла в интегральной форме в вакууме и в материальной среде. Переход к дифференциальной форме. Материальные уравнения для линейных изотропных однородных безынерционных сред. О материальных уравнениях для более сложных сред. Уравнение непрерывности для свободных зарядов и токов. Самосогласованность уравнений Максвелла и материальных уравнений. Введение сторонних электрических зарядов и токов.

Цели и содержание курса.

С экспериментальными основами и теорией электромагнитного поля вы достаточно подробно знакомились в общем курсе физики, который читался в предыдущих семестрах. Однако специалисту в области радиоэлектроники недостаточно знания теории и практики электромагнетизма в объеме общего курса физики. Специальное образование инженера - радиофизика в этой области обеспечивается дисциплинами электродинамического цикла. К этим дисциплинам относятся: «Электродинамика и распространение радиоволн (ЭДиРРВ)», «Техническая электродинамика (ТЭ)», «Антенны», а также ряд спецкурсов, которые читаются разным специализациям и посвящены более тонким вопросам. Курс «ЭДиРРВ» содержит 2 части: «Электродинамика» (читается в 4-м семестре) и «Распространение радиоволн» (читается в 5-м семестре). Этот курс образует своего рода мостик между общим курсом физики и инженерными дисциплинами – курсами «ТЭ» и «Антенны». Цель курса «ЭДиРРВ» - глубокое изучение классической электродинамики, в том числе – изучение основных постулатов и теорем теории электромагнетизма, основных методов теоретического анализа электромагнитного поля и углубление физического понимания процессов распространения и излучения электромагнитных волн. Курс «ЭДиРРВ» существенно опирается на два раздела общего курса физики: «Электричество и магнетизм» и «Колебания и волны».

Важнейшую роль в изучении курса играют методы математического анализа электромагнитных полей. Эти методы при первоначальном изучении представляются существенно более сложными, чем, например, методы изучения электромагнитных процессов в цепях на сосредоточенных постоянных. Физическая причина этого прозрачна. При изучении процессов в сосредоточенных цепях нам необходимо исследовать зависимости, например, тока и напряжения в элементах цепи, как функции единственной переменной – времени. Так, напряжение в случае негармонических переменных полей – это скалярная функция времени: U=U(t). В частном случае гармонических (монохроматических) полей эта функция характеризуется зависимостью от времени вида

U(t) = U₀ cos(t + ),

где U₀ – амплитуда,  - фаза – параметры гармонического колебания с круговой частотой 2f.

Электромагнитное поле существенно более сложный объект. В свободном пространстве оно определяется двумя векторными функциями: вектором напряженности электрического поля E(x, y, z, t ) и вектором напряженности магнитного поля H (x, y, z, t ). Векторы Е и Н зависят не только от времени, но и от пространственных координат. В частном случае гармонического переменного поля напряженность электрического поля определяется вектором компоненты которого в декартовой системе координат запишутся в виде

E _i (x, y, z, t ) = A _i (x, y, z ) cos(t +  _i (x, y, z)), i=x,y.z.

Аналогично записывается магнитное поле. Таким образом, переменное гармоническое электромагнитное поле определяется двумя векторами Е и Н, каждая из компонент этих векторов характеризуется амплитудой и фазой и зависит от четырех переменных – трех пространственных и одной временной координаты. В более общем случае негармонических полей понятие фазы отсутствует.

Сложность анализа электромагнитного поля связана, таким образом, с объективной реальностью – существованием поля в пространстве и времени и векторным характером поля. Одновременно с этим связано и большее богатство физических явлений в электромагнитных полях по сравнению с аналогичными явлениями в сосредоточенных цепях, а также существование качественно новых явлений, принципиально невозможных в сосредоточенных цепях.

Разумеется, использование достаточно сложного и громоздкого математического аппарата для описания электромагнитных явлений представляет трудности при изучении. Однако можно и нужно стремиться к пониманию процессов через их математическое описание. Такие приемы разработаны и мы будем их изучать. Наша задача будет заключаться не только в выработке понимания электромагнитных процессов, но и в овладении математическим аппаратом как инструментом их исследования.

Кроме лекций, для овладения содержанием курса будут проводиться практические занятия, лабораторные работы, будет выполнен типовой расчет, предусмотрены консультации.

Электрические заряды и токи.

Носителями электрических зарядов являются элементарные частицы: электроны, заряд которых считается отрицательным, и протоны, заряд которых положителен. Атомы и молекулы в целом нейтральны: если атом теряет один или несколько электронов, он становится положительно заряженным ионом, присоединяя к себе электроны – становится отрицательно заряженным ионом.

В электродинамике часто применяется понятие точечного заряда. За точечные заряды принимают заряженные тела, расстояние R между которыми много больше размеров самих тел l₁, l₂: R>> l₁, l₂. Если расстояние между телами соизмеримо или мало по сравнению с размерами тел (R l, R l), заряд нельзя считать точечным. В этом случае, если заряд распределен по объему тела, вводят понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда в данной точке p называют величину . (Во всем курсе используем систему единиц СИ). Здесь и ниже индекс «э» относится к электрическим зарядам и токам. (Элементарных магнитных зарядов, как известно, до сих пор не обнаружено, но на макроуровне мы введем далее магнитные заряды и токи). Если заряд распределен по поверхности или по нити, аналогично вводят понятия поверхностной и линейной плотностей заряда В этих определениях q^э - заряд, сосредоточенный в элементарном объеме V ( на поверхности S, длине l). Элементарные объём, поверхность, длина являются физически бесконечно малыми. Это означает, что линейный размер физически бесконечно малого объема много больше размеров зарядов и расстояний между зарядами, но мал по сравнению с длиной волны, т.е. выполняется условие d<<l<< (d- среднее расстояние между частицами, l – линейный размер объема, по которому идет осреднение, - длина волны).

Рассмотрим теперь понятия, связанные с электрическим током. Электрическим током называется упорядоченный перенос электрических зарядов. Линии, вдоль которых движутся заряды, называются линиями тока. За положительное направление тока принимается направление движения положительно заряженных частиц. Представим мысленно трубку, боковая поверхность которой состоит из линий тока (Рис. 1.1). Электрический ток определяется направлением и величиной: это вектор, направление которого совпадает с касательной к линии тока. Введем понятия объемной, поверхностной и линейной плотностей тока. Величина вектора объемной плотности тока определяется числом зарядов, проходящих через единичную площадку трубки тока, перпендикулярную линиям тока. При известной объемной плотности заряда ^э объемную плотность тока определим как с размерностью . Здесь v –вектор скорости зарядов. По аналогии вводят вектор поверхностной плотности тока и вектор линейной плотности тока Для краткости линейную плотность тока называют просто «ток». Иногда и объемную, и поверхностную плотности токов называют ради сокращения «током». Физический смысл этих величин обычно ясен из контекста (размерности). Ток, связанный с зарядами, принято называть током проводимости.

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.

Исходными для нашего курса являются уравнения Максвелла (УМ). Джеймс Клерк Мáксвелл сформулировал уравнения, которые ныне носят его имя, на основе эвристического обобщения экспериментальных законов электромагнетизма. Следует отметить, что УМ для вакуума строго вытекают из квантовой электродинамики. Однако УМ для материальных сред по существу до сих пор вводятся эвристически, почему – мы поясним несколько позже.

Приведем УМ в интегральной форме для проводящей материальной среды.

Уравнения Максвелла в интегральной форме для проводящей материальной среды

; (1.1) ; (1.2)

; (1.3) . (1.4)

Здесь H – вектор магнитного поля, B – вектор магнитной индукции, E – вектор электрического поля, D – вектор электрической индукции, j^e – вектор (объемной плотности) тока проводимости, q^e – электрический заряд.

Напомним, что первое УМ есть обобщение закона полного тока. Рассмотрим рис.1.2. Пусть через поверхность S, натянутую на контур L, идет ток проводимости с объемной плотностью тока j^e. Согласно закону полного тока интеграл от вектора магнитного поля по контуру L равен току, проходящему через поверхность S, т.е. интегралу от объемной плотности тока по этой поверхности. Максвелл предположил, что магнитное поле создается не только током проводимости j^e, но и другим током, которым мы называем током смещения j^s=D/t и который связан с вектором электрической индукции. До Максвелла закон полного тока применялся только к реальным проводникам, по которым течет ток проводимости. Согласно Максвеллу уравнение (1.1) применимо не только к проводникам, но и в непрерывной проводящей ( при j^e0) или непроводящей (при j^e=0) среде.

Второе УМ – аналог закона электромагнитной индукции Фарадея. Согласно закону электромагнитной индукции Э = - d/dt, где Э – ЭДС, наводимая в проволочной петле,  - магнитный поток через эту петлю. ЭДС можно представить в виде контурного интеграла , а магнитный поток определяется как поток вектора B через поверхность S, натянутую на эту петлю:. Геометрическая интерпретация второго УМ аналогична рис. 1.2, нужно только напряженность магнитного поля в (1.1) заменить на напряженность электрического поля, а вектор электрической индукции – на вектор магнитной индукции со знаком «минус». До Максвелла контур L отождествляли с проволочной петлей. Максвелл стал рассматривать L как произвольный контур в пространстве.

Третье УМ – следует из электростатики - это формула Гаусса: интеграл по поверхности S от нормальной к поверхности компоненты электрической индукции равен сумме зарядов внутри этой поверхности (рис. 1.3). 4-е уравнение аналогично 3-му, но правая часть равна нулю, т.к. магнитных зарядов в природе пока не найдено.

Переход от уравнений Максвелла в интегральной форме к уравнениям Максвелла в дифференциальной форме.

Используя теорему Стокса, перепишем интеграл в левой части уравнения (1.1) в виде

и аналогично преобразуем интеграл в левой части уравнения (1.2).

В результате первые два уравнения Максвелла примут вид

(1.5), . (1.6)

Учтем теперь, что соотношения (1.5) и (1.6) должны выполняться независимо от формы поверхности S. Поэтому можно сделать предельный переход S0, предположить, что при малых S подынтегральные функции от S не зависят и вынести их за знак интеграла. В результате получим

Таким образом, получили 1-е и 2-е УМ в дифференциальной форме.

Теперь перейдем от интегральной формы 3-го и 4-го УМ к дифференциальной.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского

.

Кроме того, представим заряд q^e интегралом от объемной плотности заряда

.

Подставим полученные соотношения в (1.3) и (1.4)

Как и выше, сделаем предельный переход V0, вынесем подынтегральные функции за знак интеграла, в результате получим

Уравнения (1.7), (1.8), (1.11), (1.12) – это УМ в дифференциальной форме.

Доопределение уравнений Максвелла в дифференциальной форме для проводящей материальной среды.

Таким образом, мы получили систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме для проводящей материальной среды:

УМ в дифференциальной форме проще исследовать аналитическими методами. Однако УМ (1.1)-(1.4) и (1.7),(1.8),(1.11),(1.12) незамкнуты. Действительно, рассмотрим УМ в дифференциальной форме. Имеем 2 векторных и 2 скалярных уравнения, т.е. 8 скалярных. Неизвестные: D, E, B, H, j^e, ^e –16 скалярных неизвестных (определяем число неизвестных и уравнений в скалярной форме). То есть уравнений для определения неизвестных нехватает: система недоопределена. Сколько еще нужно уравнений? 8? Нет, еще больше, так как уравнение (1.12) есть следствие уравнения (1.8). Действительно, если применить операцию div к уравнению (1.8), то получим откуда следует divB=0. Таким образом, фактически имеем 7 скалярных уравнений, и чтобы система была замкнутой (число неизвестных=числу уравнений), необходимо добавить 9 уравнений. Эти уравнения вводятся обычно феноменологически и определяют связь векторов D, B, j^e с E и H через материальные параметры среды. Поэтому эти уравнения называются материальными. В наиболее общей форме можно записать материальные уравнения (МУ) как

D= D(E,H), B= B(E,H), j^e=j^e(E,H).

После того, как МУ сформулированы, система УМ и МУ становится замкнутой. Формулируя МУ, вводят в рассмотрение определенный круг физических явлений, происходящих в реальных средах при взаимодействии с ними электромагнитного поля. Более подробно вопрос о МУ рассматривается в курсе «Радиофизика», читаемый кафедрой ОРТ. Используем далее следующую простейшую систему МУ

D= _a E, (1.13) B=_a H, (1.14) j^e=_e E. (1.15)

В (1.13) - (1.15) - _a=₀- абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, ₀- электрическая постоянная (абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума),  - относительная диэлектрическая проницаемость среды, _a=₀ - абсолютная магнитная проницаемость среды, ₀- магнитная постоянная (абсолютная магнитная проницаемость вакуума),  - относительная магнитная проницаемость среды, _э - удельная объемная электрическая проводимость среды. Все параметры, входящие в (1.13)-(1.15): _a , _a , _e, будем в простейшем случае считать константами.

Связи (1.13)-(1.15) соответствуют линейной изотропной среде. Линейность означает, что, например, вектор электрической индукции зависит только от электрического поля в первой степени. Изотропия означает, что вектор D параллелен вектору E независимо от ориентации последнего в среде (коэффициент пропорциональности _a – скалярная величина). Если параметры среды , , _e постоянны по объему среды, среда является пространственно однородной. Если параметры среды ,,_e не зависят от времени, среда является однородной во времени. Наконец, согласно (1.13)-(1.15) электрическая (магнитная) индукция и ток проводимости мгновенно отслеживают изменение электрического (магнитного) поля в среде, то есть среда является безынерционной. Таким образом, МУ (1.13) - (1.15) определяют линейную, изотропную, однородную, безынерционную среду.

Обсуждение более сложных материальных уравнений

(Здесь и далее мелким шрифтом выделен дополнительный материал, не обязательный, но желательный для изучения)

Усложнение МУ позволяет описать более тонкие физические явления. Поясню на примере МУ для электрической индукции.

Пространственная и временная неоднородность среды. Материальное уравнение D=_a(r,t)E - диэлектрическая проницаемость среды зависит от координат и времени.

Анизотропия. Материальное уравнение в декартовой системе координат запишем в виде D_i=_aijE_j, i,j=1,2,3. Вектор электрической индукции не совпадает по направлению с вектором электрического поля. Связь между векторами D и E определяется тензором диэлектрической проницаемости _a  с компонентами _aij (в данном случае тензор – это матрица размерностью 3*3, связывающая векторы D и E)

Нелинейность. Нелинейные эффекты могут быть учтены при введении в зависимость D= _a E квадратичных и более высоких степеней электрического поля. Например, представим D(E) рядом

D_i=_aE_i+_ijE_iE_j+_ijkE_iE_jE_k+…..

Это МУ учитывает квадратичные и кубичные нелинейные эффекты по электрическому полю, которые приводят к генерации гармоник и возникновению комбинационных частот.

Инерционность среды. Материальное уравнение в инерционной среде можно представить в виде

.

Из вида МУ следует, что величина электрической индукции зависит не только от электрического поля в данный момент времени, но и от величины поля в предыдущие моменты времени (учитывается предыстория процесса). Зависимость _a не только от текущего времени t, но и от предыдущих моментов времени t означает, что имеет место явление временной дисперсии.

Наиболее общая формулировка МУ для линейной среды имеет вид:

Здесь учтена не только временная, но и пространственная дисперсия среды, которая проявляется в следующем: _a зависит не только от свойств среды в данной точке пространства r, но и в соседних точках пространства r. Таким образом, электрическая индукция в точке пространства r зависит от значений электрического поля как в точке r, так и в соседних точках r.

Существует два способа получения МУ. 1). Формулировка МУ из эвристических (феноменологических) соображений (примеры эвристических формулировок МУ приводились выше). В этом случае и структура МУ, и количественные значения коэффициентов МУ должны быть оправданы сопоставлением с экспериментом. 2) Вывод МУ путем совместного анализа УМ на микроуровне и уравнений квантовой теории вещества, либо анализа УМ совместно с макроскопическими уравнениями вещества. Так, для макроскопического описания плазмы используют кинетические либо гидродинамические уравнения, для твердого тела – уравнения теории упругости.

В нашем курсе будут использованы относительно простые виды МУ. Но следует запомнить, что выбор МУ должен быть адекватен кругу описываемых явлений. Если вы анализируете процессы в веществе, хорошо изученном в определенном частотном диапазоне, то и МУ для него известны. Если вы занимаетесь исследованиями взаимодействия ЭМ волн с веществом в неизученной ранее области, ставьте вопрос об адекватности используемых вами МУ вашей физической ситуации.

Рассмотрим далее систему УМ (1.7),(1.8),(1.11),(1.12) и МУ (1.13)-(1.15). Эта система замкнута (число уравнений равно числу неизвестных). Может возникнуть вопрос: почему нет МУ, определяющего связь плотности заряда ^э с полем? В нем нет необходимости, так как плотность заряда связана с током уравнением непрерывности. Уравнение непрерывности следует из уравнений (1.7) и (1.11). Подействуем оператором div на уравнение (1.7): divrotH=div (j^e+D/t)=0. Отсюда следует, что div j^e = –(divD)/t. Так как divD=^e, получаем

div j^e+^e/t=0. (1.16)

Это и есть уравнение непрерывности, связывающее объемные плотности тока и заряда.

Замечание. Можно ввести уравнение непрерывности в число постулатов при формулировке УМ. Уравнение непрерывности легко выводится из физических соображений из анализа движения зарядов в трубке тока (см. кн Г.Т.Марков, Б.М.Петров, Г.П.Грудинская, Электродинамика и распространение радиоволн. М. 1979). При этом уравнение (1.11) будет следствием (1.7) и (1.16). Мы взяли в качестве исходной систему (1.7), (1.8), (1.11), (1.12). При этом (1.16) есть следствие (1.7) и (1.11).

Система УМ (1.7),(1.8),(1.11),(1.12) и МУ (1.13)-(1.15) самосогласована: движение зарядов (изменение тока) приводит к изменению полей D, B, E, H и к влиянию их на заряды (токи) и т.д. Возникает вопрос: как найти поля, токи и заряды из самосогласованных уравнений, если поля, токи и заряды влияют друг на друга? Ведь любое изменение полей вызовет обратное влияние полей на себя?

Выход из этого замкнутого круга в макроскопической электродинамике находят с помощью следующего эвристического приема: выделяют некоторые токи и заряды, которые считают сторонними источниками поля.

Сторонние электрические заряды и токи.

Смысл сторонних источников следующий: считают, что они излучают поле, но обратным влиянием поля на сторонние источники можно пренебречь. Обозначим токи и заряды этих сторонних источников j^es , ^es. Выделив сторонние источники, запишем УМ (1.7) и (1.11) в виде

, (1.7а) . (1.11а)

При этом полагаем, что сторонние заряды и токи заданы в некотором ограниченном объеме пространства V_s и их зависимости от точек пространства определяются векторной координатой r, остальные зависимые переменные, входящие в (1.7а) и (1.11а), зависят от векторной пространственной координаты r. Координата r определяет положение точки источника, координата r – положение точки наблюдения.

Сторонние токи и заряды, как и свободные токи и заряды, связаны уравнением непрерывности вида (1.16). Из (1.7а) видно, что к стороннему току можно отнести либо часть тока проводимости j^e, либо часть тока смещения j^ed=D/t. Стороннему току можно также сопоставить некоторое стороннее электрическое поле E^es. В дальнейшем мы углубим понятие сторонних токов и зарядов.

Физическое содержание понятий сторонних токов, зарядов и полей поясним на примере. Рассмотрим простую излучающую систему, состоящую из генератора высокочастотных колебаний 1, двухпроводной линии 2, подводящей электромагнитное поле от генератора к антенне, и антенны 3, состоящей из двух проводников длины L и радиуса a (Рис. 1.4а). Излучающая система расположена в пространстве с параметрами _а и _а.

Процесс формирования электромагнитного поля в излучающей системе представляется в общих чертах следующим. В генераторе происходит преобразование какого-либо вида энергии в энергию высокочастотного (ВЧ) электромагнитного поля. ВЧ электромагнитное поле распространяется от генератора вдоль линии передачи (частично по проводам в виде тока, частично в окружающей среде), попадает в антенну, ток, идущий по антенне, создает в окружающем пространстве электромагнитное поле, часть которого уходит от антенны в виде поля излучения. Процесс создания ВЧ электромагнитного поля во всей системе, включая генератор, описать с помощью УМ очень сложно. Используют следующий упрощающий прием. Из физических соображений выделяют ту часть системы, которая является практически неизлучающей. Отбрасывая неизлучающую часть, надо задать ее действие в виде стороннего тока или поля. Естественно предположить, что процесс излучения идет вне генератора. Возникает вопрос, на какой части рассматриваемой системы и как следует задать сторонний ток или поле. Предположим, что генератор включен и в физической системе установился стационарный режим работы. Тогда во всей системе устанавливается распределение тока, которое согласовано с возбужденным вокруг системы электромагнитным полем.

Измерим распределение тока по антенне. Если принять это распределение тока за стороннее, то в качестве модели №1 излучения антенны можно принять вибратор с заданным вдоль него распределением стороннего тока (Рис. 1.4б). Зная распределение стороннего тока, можно с помощью УМ рассчитать электромагнитное поле, создаваемое этим током в окружающем пространстве.

Можно задать распределение тока на антенне из эвристических соображений, не прибегая к эксперименту. Но как проверить обоснованность эвристического подхода? Для этого используется такой принцип, как построение иерархии электродинамических моделей.