Лекция 18 ЭТ
.pdf
Лекция 18
Анализ динамических режимов в линейных цепях (анализ переходных процессов)
Подключение или отключение источников, элементов цепи и ветвей схемы называется коммутацией.
При этом происходит изменение напряжений и токов на элементах, поэтому требуется время для достижения ими установившихся значений, то есть в цепи возникают переходные процессы.
Вводится понятие идеального ключа.
tк 0 , Rкз 0 , Rр
t 0 0 |
(время непосредственно перед коммутацией). |
t 0 0 |
(время непосредственно после коммутацией). |
tк 0 0
V1 t
V t V1 t
Vl t
|
y1 t |
|
|
|
|
Y t |
y2 t |
|
|
|
|
|
ym t |
|
|
x1 t |
|
|
|
|
X t |
x2 t |
|
|
|
|
|
xn t |
|
– матрица-столбец входных воздействий независимых источников тока и ЭДС (внешние переменные)
–матрица-столбец выходных переменных
–матрица-столбец внутренних переменных или переменных состояния
Замечание: в качестве переменных состояния используются напряжения на конденсаторах и токи на индуктивных элементах, так как эти элементы полностью определяют состояние цепи в любой момент времени.
X t iL t uC t
W |
Li2 |
|
, W |
Сu2 |
|||||
L |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
M |
2 |
|
|
|
|
Э |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
Компонентные |
|
Топологические |
|||||||
уравнения |
|
уравнения |
|||||||
ur t r i t |
|
A i t 0 |
|||||||
uL t |
L |
diL |
|
|
B u t 0 |
||||
dt |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
iC t C |
duC |
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эти уравнения справедливы для любого момента времени и для любой цепи. Мы можем их преобразовать в дифференциальные уравнения первого порядка,
которые называются матричными состояниями цепи или уравнениями
состояния.
dX |
X t A1 X t B1 |
V t |
|
|||||||||
|
|
|
(1) |
|||||||||
|
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– система уравнений состояния |
||
Y t |
A X |
t B V |
t |
|
(2) |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
A1 n n |
B1 n l |
|
|
|||||||||
A2 m n |
B2 m l |
|
|
|||||||||
(Это матрицы вещественных коэффициентов, которые определяются |
||||||||||||
параметрами схемы) |
|
|
|
|
||||||||
Уравнения (1) и (2) – система n линейных уравнений 1-о порядка. |
||||||||||||
Рассмотрим решение дифференциального уравнения n - о порядка: |
||||||||||||
a |
d n x |
a |
|
d n 1x |
... a |
|
dx |
a x b x (3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
n dtn |
n 1 dtn 1 |
1 dt |
0 |
|
||||||||
x t xч.н xо.о |
|
|
|
|
|
|||||||
a n |
a |
n1 |
... a a 0 – характеристическое уравнение |
|||||||||
n |
|
n 1 |
|
1 |
0 |
|
|
|||||
Это уравнение имеет n корней. Записывают xо.о в зависимости от вида корней.
Законы коммутации
1.
|
dq |
|
|
Сu2 |
qu |
|||
i |
|
W |
|
C |
|
C |
||
|
|
|
|
|||||
C |
dt |
Э |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
p t u t i t |
p |
dW |
|
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Для каждой конечной мощности источника сигнала энергия в любых элементах схемы не может изменяться мгновенно.
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
W t0 W t0 |
p d |
|
|
|||||
|
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
W t0 W t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C const |
|
Сu2 |
|
|
|
Сu2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
C |
|
|
C |
|
|
||
2 |
|
t0 |
2 |
|
t0 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2-й закон коммутации:
uC 0 uC 0 (напряжение на конденсаторе не меняется скачком)
Можно также записать: qC 0 qC 0
2.
u |
|
|
d |
Li |
L |
|
|||
|
|
dt |
L |
|
|
|
|
|
Li2
WM 2L
Рассуждая аналогично, получаем:
1-й закон коммутации:
L const
iL 0 iL 0 (ток на индуктивности не меняется скачком)
Можно также записать: 0 0
Замечание:
1. iL 0 iL 0 iL 0
t 0
2. uC 0 uC 0 uC 0
t 0
Модели источников и единичные функции
1, t 0 1 t
0, t 0
E, t 0 u t
0, t 0 u t E 1 t
J , t 0 i t
0, t 0 i t J 1 t
Классический метод расчета. Цепи 1-о порядка. Схема заряда конденсатора
Порядок схемы определяется количеством накопителей в цепи.
1. Схема в установившемся режиме до коммутации, t 0
ННУ (независимые начальные условия):
uC 0 uC 0 uC 0 0
2. Схема после коммутации, t 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E u |
r |
u |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ur |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
dt |
|
|
E C r |
duC |
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
duC |
|
|
1 |
u |
|
1 |
E |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
rC |
|
C |
|
rC |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
duC |
|
|
1 |
u |
|
1 |
|
E (уравнение состояния для данной схемы). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dt |
|
rC |
C |
|
rC |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
r C , |
где – |
постоянная времени схемы. |
||||||||||||||||
dudtC 1 uC 1 E
1 0 (характеристическое уравнение).
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t u |
|
t A e t Ae |
t |
|
|
|
|||||
u |
|
|
|
|
|
|
||||||
C.o.o |
|
|
C.св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(где индекс «св» означает свободное). |
|
|
||||||||||
u t |
u |
t u |
t u |
|
|
|
t u |
Ae |
t |
|||
u |
|
|||||||||||
C |
|
|
ч.н |
|
о.о |
C. уст |
|
|
C.св |
C. уст |
|
|
(где индекс «уст» означает установившееся).
Установившийся режим: t |
d |
0 |
|
dt |
|||
|
|
1 |
u |
|
1 |
E |
u |
E |
|
|
|||||
|
C. уст |
|
C. уст |
|
||
|
|
|
||||
t 0
uC 0 uC 0 0
uC 0 uC. уст 0 uC.св 0 E A 0 A E
uC t E Ee |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
|
E 1 |
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
E |
|
t |
|
|
|
||||
i C |
C |
|
|
e |
|
|
|
||||
C |
dt |
R |
|
|
|
|
|
|
|||
Графики искомых величин:
характеризует скорость переходного процесса, то есть это время, за которое свободная составляющая напряжения или тока уменьшается в e раз.
Схема разряда конденсатора
1. До коммутации t 0 .
ННУ: uC 0 uC 0 E
2.
ur uC 0
Cr dudtC uC t 0
dudtC 1 uC t 0
1 1
rC
|
t u |
|
t u |
Ae |
t |
u |
u |
|
|||
C |
C. уст |
C.св |
C. уст |
|
|
t uC. уст 0
t 0
uC 0 A E
|
t Ee |
t |
|
|
|||||
u |
|
|
|
|
|
||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
duC |
|
|
|
E |
e |
t |
|
i C |
|
|
|
||||||
|
|
||||||||
C |
|
dt |
|
|
r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Графики искомых величин:
Воздействие прямоугольного импульса:
tи – время импульса.
0 t tu – заряд конденсатора.
t tu – разряд конденсатора.
Если tu (2 3) , то переходный процесс
считается законченным.
Пример №1
Рассмотреть случаи
τ<<tи τ~tи
τ>>tи
Одновременно с uвых(t) строить АЧХ.
H ( j ) Uвых
Uвх
1 0 1 rC
H ( ) 1 ФНЧ
1 20
H ( ) |
Uвых |
|
|
Uвх |
|
|
I |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j C |
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 j rC |
|
|
||||
|
I (r |
|
) |
|
|
|
1 j |
|
||
j C |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Полоса пропускания от 0 до ω0
0 0 0
τ<<tи
τ~tи