Лекция 2

Симметризованные уравнения Максвелла. Принцип перестановочной инвариантности. Уравнения Максвелла в монохроматических полях. Уравнения Гельмгольца для электрического и магнитного полей. Уравнения для векторов Фарадея .

Симметризованные уравнения Максвелла.

На прошлой лекции мы записали ум совместно с простейшими му в виде

УМ , МУ . (2-1)

Напомню, что индекс “e” означает, что речь идет об электрических зарядах и токах, а индексом “a” отмечены сторонние заряды и токи.

Из такой записи видно, что система УМ несимметрична из-за отсутствия магнитных зарядов и токов. Сделаем ее, пока формально, более симметричной, введя магнитные заряды и токи. На микроуровне это не имеет физического смысла, но на макроуровне введение магнитных зарядов и токов имеет физический смысл и, как мы увидим в дальнейшем, существенно упрощает анализ электромагнитных полей. Аналогично введем в УМ и сторонние магнитные заряды и токи.

После введения магнитных зарядов и токов система УМ и МУ примет следующую симметричную форму

, (2-2)

Здесь в правом столбце мы ввели магнитные и сторонние магнитные заряды и токи, а также материальные уравнения, связывающие магнитный ток с магнитным полем через магнитную объемную проводимость среды σ_m.

Приведенная нами симметризация УМ и МУ весьма полезна. Система УМ в форме (2-2) обладает свойством перестановочной инвариантности (перестановочной двойственности).

Принцип перестановочной инвариантности.

Сделаем в УМ и МУ замену

E  H, D  -B, j^e - j^m, _a  -_a, ^e  -^m_, _e -_m , (2-3)

аналогичная замена используется для сторонних токов и зарядов.

Здесь стрелка в соотношениях вида E  H означает, что величина, к которой направлена стрелка, заменяется на величину, стоящую по другую сторону стрелки.

Возьмем левый столбец в системе (2-2) и заменим входящие в него величины в соответствии с (2-3). Видим, что левый столбец перешел в правый. Аналогично, подставляя в правый столбец УМ (2-2) соотношения (2-3) получим левый столбец УМ. Таким образом, подстановка (2-3) переводит УМ сами в себя.

Но сила принципа перестановочной инвариантности в том, что он может быть применен не только к УМ, но и к решениям УМ.

Напомним, что система (2-2) является линейной и к ней применим принцип суперпозиции. Это означает, в частности, что общее решение неоднородных (содержащих сторонние заряды и токи) УМ может быть представлено в виде суммы решений 2-х неоднородных УМ: одно из них определяется сторонними электрическими токами, а второе - сторонними магнитными токами.

Предположим теперь, что мы решили задачу излучения э/м волн сторонними электрическими токами и нам требуется решить задачу излучения э/м волн сторонними магнитными токами, зависящими от пространственной и временной переменных точно так же, как и сторонние электрические токи. Тогда решение задачи об излучении сторонних магнитных токов может быть получено из решения задачи об излучении сторонних электрических токов путем применения к последнему решению подстановки (2-3).

Таким образом, принцип перестановочной инвариантности позволяет получать из одного решения УМ заменой (2-3) другое решение без дополнительной аналитической работы.

Замечание 1. Существует несколько форм принципа перестановочной инвариантности (см. [1, 2,3]). Приведенная нами форма соответствует учебникам [1,2]. В книге [3] приведена другая форма принципа перестановочной инвариантности. Вы может сами предложить другие варианты. Принцип перестановочной инвариантности применим и к негармоническим полям, и к гармоническим.

Замечание 2. Систему (2-2) можно рассматривать как совокупность постулатов теории электромагнетизма для материальных сред. Можно ли считать, что этих постулатов достаточно для анализа э/м полей

И. Е. Тамм ([4] гл. 7, § 91) указывает, что УМ должны быть дополнены постулатом об энергии э/м поля, лишь в этом случае совокупность УМ станет доступной проверке на опыте. Энергетические соотношения в электродинамике мы рассмотрим на отдельной лекции.

Уравнения Максвелла для монохроматических полей

Электромагнитные поля, определяемые УМ (2-2), являются функциями трех пространственных координат и времени. Можно упростить анализ э/м полей, перейдя от нестационарных полей к их спектральным представлениям. Напомню, (см. [5], гл. 2 ), что любой сигнал U(t) может быть представлен интегралом от спектральной плотности сигнала . Сигнал U(t) и его спектральная плотность связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье

(2-4)

Отметим, что спектральная плотность в общем случае комплекснозначная функция частоты .

Представление (2-4б) можно трактовать, как представление произвольного сигнала в виде суммы монохроматических (гармонических) колебаний.

Рассмотрим вещественную гармоническую функцию

(2-5)

Здесь - амплитуда, - фаза гармонического колебания круговой частоты =2πf.

Представим U(t) в виде

Здесь , звездочка *- означает знак комплексного сопряжения. Комплексное число будем называть комплексной амплитудой.

Пусть нам известна комплексная амплитуда . Тогда можно найти соответствующую ей вещественную функцию времени по правилу

(2-6)

Действительно

Из последнего соотношения следует, что

.

Рассмотрим теперь векторное поле. Пусть V(r,t) - вещественная векторная функция, описывающая монохроматическое поле частоты . Запишем вектор V(r,t) в декартовой системе координат

Здесь - компоненты вектора V, - единичные векторы, j=x,y,z

В случае гармонических колебаний

.

К векторным монохроматическим полям также можно применить определение комплексных амплитуд. Обозначим

(2-7)

Здесь - вектор комплексной амплитуды монохроматического поля V(r,t)

Функция V(r,t) может быть записана в виде

Звездочка над вторым слагаемым означает комплексное сопряжение. Часто используют запись

,

обозначение - это комплексно сопряженная по отношению к величина.

Аналогично (2-4) преобразование Фурье можно применить к нестационарным УМ (2-2).

При этом, применив прямое преобразование Фурье вида (2-4а) к УМ (2-2), мы получим УМ для спектральных плотностей и тем самым сократим число независимых переменных (т.к. спектральные плотности полей зависят только от r, а от времени не зависят).

Вместо применения преобразования Фурье к УМ проще воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Согласно этому методу исходные УМ для вещественных монохроматических полей частоты с учетом связи

переводятся в УМ для комплексных амплитуд подстановкой вместо векторных и скалярных функций V(r,t) и V_j(r,t ) величины , .

Нестационарные УМ вида (2-2) при этом существенно упрощаются, так как дифференцирование по времени монохроматических полей дает

т.е. оператор заменяется в УМ на . Перейти к вещественным представлениям исходных немонохроматических полей можно с помощью обратного преобразования Фурье вида (2-4б).

Выведем УМ для комплексных амплитуд. Подставим в исходные УМ (2-2) вместо вещественных векторных полей E(r,t), H(r,t) и т.д. комплексные величины и т.д., то же сделаем для скалярных величин ρ^e, ρ^m . После дифференцирования по t и исключения общего множителя получаем (сторонние токи и заряды, а также точки над комплексными амплитудами для упрощения опускаем)

(2-8)

Подставим МУ в УМ. Получим для первых уравнений в (2.8)

(2-9)

Преобразуем теперь уравнение

. (2-10)

Учтем, что ток и заряд связаны уравнением непрерывности

. (2-11)

Переходя к комплексным амплитудам, получим из (2-11)

. (2-12)

Далее исключаем с помощью (2-12) плотность заряда из (2-10) и затем исключаем ток и электрическую индукцию с помощью материальных уравнений в (2-8). В результате получим

. (2-13)

Аналогично уравнение перейдет в уравнение

. (2-14)

Сопоставляя (2-9), (2-13), (2-14) видим, что мы можем ввести новые диэлектрическую и магнитную проницаемости

(2-15)

В (2-15) ,- абсолютные комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, ,- относительные комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

С учетом (2-15) система УМ и МУ сводится к виду

(2-16)

Система (2-16) является максимально простой формой УМ для комплексных амплитуд. Подчеркнем, что в системе (2-16) уравнение является следствие 1-го УМ, а уравнение - следствием 2-го УА. Это легко показать, действуя оператором div на первые два уравнения Максвелла. Поэтому фактически мы свели систему однородных УМ для гармонических полей всего к двум уравнениям

Возможно и другое представление системы УМ, которое окажется более удобным при анализе сопряжения полей на границах раздела сред (этот вопрос будет изучаться позднее).

Введем новые векторы комплексных амплитуд электрической и магнитной индукции, определив их следующим образом

, (2-17)

тогда в соответствии с (2-9), (2-13), (2-14) система УМ сводится к виду

(2-18)

Напомним теперь , что мы при переходе от УМ для мгновенных значений полей к УМ для комплексных амплитуд рассматривали УМ без сторонних зарядов и токов. Если оставить в исходных УМ сторонние заряды и токи, то мы получим следующие УМ для комплексных амплитуд, являющиеся обобщением (2-18)

(2-19)

Если в (2.19) заменить векторы электрической и магнитной индукции в соответствии с (2.17), то придем к системе неоднородных УМ в форме

(2.20)

Таким образом, перейдя к монохроматическим полям, мы получили весьма компактные УМ для комплексных амплитуд полей в формах (2-16), (2-18), (2-19), (2-20).

Следует сделать несколько замечаний по поводу полученных уравнений.

Замечание 3

Материальные уравнения (2-15) получены в результате перехода к комплексным амплитудам в простейших МУ (см. систему (2-2)). При этом , , , в (2-16) не зависят от частоты. Однако МУ (2-15) сохраняют вид и для сред с частотной дисперсией, когда , , , являются функциями частоты. МУ вида (2-15) в этом случае получают из МУ сред с временной дисперсией после применения прямого преобразования Фурье.

Замечание 4

Связь вещественных монохроматических полей с комплексными амплитудами мы определяли соотношением

Иногда определяют связь вещественного поля с комплексной амплитудой заменой

Очевидно, что такое определение отличается от предыдущего только сдвигом по фазе на (по времени - на четверть периода), что непринципиально и соответствует просто сдвигу отсчета по времени.

Замечание 5

В определении монохроматического поля

функция называется временным множителем. Использование временного множителя соответствует паре преобразований Фурье (2-5).

Однако можно определить связь вещественного поля с комплексной амплитудой соотношением

.

Замена временного множителя на приводит к тому, что УМ и МУ для комплексных амплитуд, найденных с временным множителем , оказываются комплексно сопряженными по отношению к УМ и МУ для комплексных амплитуд, найденных с временным множителем . Например:

для временного множителя для временного множителя

1-е УМ:

диэлектрическая проницаемость

Отметим, что при таких определениях для поглощающих сред независимо от вида временного множителя.

В физической литературе принято использовать временной множитель , в технической - множитель . Обращайте на это внимание при чтении книг и статей. Есть книги, где в разных главах использованы различные временные множители.

Бывают ошибки такого рода: автор работает с системой УМ с временным множителем , но берет для среды с потерями представление , и . При этом поле не затухает в среде вследствие потерь, а возникает растущее поле, т.е. физически противоположный затуханию эффект (активная среда).

Векторные уравнения Гельмгольца для электрического и магнитного полей.

Выше мы получили УМ для монохроматических полей в форме (2.20). Система (2.20) определяет 2 неизвестных поля: Е и Н. Можно еще дальше пойти по пути упрощения уравнений. Например, исключить из (2.20) Н либо Е, а также сторонние заряды, тогда вместо системы (2.20) получим одно уравнение относительно Е либо Н. В итоге получим уравнения, которые называются уравнениями Гельмгольца (УГ). В англоязычной литературе их принято называть приведенными волновыми уравнениями. Выводом этих уравнений мы и займемся.

Нам предстоит много технической работы по преобразованию уравнений. Чтобы упростить работу, опустим в дальнейшем точки над величинами, обозначающими комплексные амплитуды, и тильды над величинами _а и _а.

Выведем УГ для поля Е. Для этого из первого УМ в (2.20) необходимо исключить Н. Применим операцию rot ко 2-му УМ.

.

Далее исключим rot Н с помощью 1-го УМ.

Теперь воспользуемся формулой векторного анализа.

. (2.21)

Здесь  – оператор Лапласа*)

Получим

(2.22)

Далее учтем 3-е УМ

и уравнение непрерывности для сторонних токов

.

Отсюда следует, что

Подставив это выражение для div E в (2.22), окончательно получим

уравнение для электрического поля

, (2.23)

где k = - величина, называемая постоянной распространения (или волновым числом). Волновое число для среды без потерь можно записать в форме

, (2.24)

где с – скорость света а вакууме, V – скорость света в материальной среде с относительными проницаемостями ε и μ.

В правой части (2.23) стоит функция сторонних токов

. (2.25)

______

*) Действие оператора Лапласа на скалярное поле U определяется соотношением U=div grad U . Действие оператора Лапласа на векторное поле А – соотношением (2.21). Оператор Лапласа также часто записывают через оператор «набла» в форме  или ². В некоторых книгах обозначение  означает только действие на скалярную функцию, а в векторной форме используют соотношение ².

Уравнение (2.23) называется неоднородным векторным УГ для электрического поля, т.к. в его правой части стоит функция сторонних токов М^e.

Аналогично можно получить УГ для магнитного поля. Для этого используем принцип двойственности, т.е. проведем замену H  Е, j^ms- j^es, _a  -_a. В результате получим

, (2.26)

где

. (2.27)

Заметим, что правые части уравнений (2.23) и (2.26) отличны от нуля только в объеме сторонних токов V_s., т. е.

M^e0 , M^m0 ,если qV^s,

M^e=0 , M^m=0 ,если qV^s,

Здесь точки q- координаты источников, т.е. правых частей уравнений (2.23) и (2.26). В области, где M^e=0 , M^m=0, уравнения (2.23) и (2.26) становятся однородными ( правые части равны нулю).

Таким образом, вместо системы (2.20) мы получим УГ (2.23) для Е и (2.26) для Н.

Упрощение состоит в том, что мы получим одно уравнение (для Е или Н) вместо системы (2.20) . Правда, уравнение более сложное – 2-го порядка в частных производных вместо системы уравнений 1-го порядка для Е и Н. Но решать одно уравнение обычно легче, чем систему.

Заметим, что для отыскания полей Е и Н нет необходимости решать оба УГ для Е и Н. Достаточно решить одно уравнение, например (2.23) для Е, а затем найти поле Н через известное поле Е с помощью 2-го УМ (2.20).

УГ для Е и Н широко используются для отыскания э/м полей в области вне источников. Однако когда речь идет об излучении источников, эти уравнения весьма неудобны, т.к. в правых частях УГ для Е и Н стоят дифференциальные операции над токами. Это может вызвать трудности. Зависимости сторонних токов от координат часто задаются из приближенных, эвристических соображений или на основе экспериментальных данных. При таком способе задания сторонних токов дифференцирование неточно заданной функции тока может существенно увеличить погрешность производных тока (по сравнению с истинными). В результате решение УГ с неточно заданной правой частью может дать ошибочный результат.

Есть очень изящный прием, позволяющий обойти эти трудности. Для этого вводят вспомогательные величины, называемые векторными потенциалами. Вопросы введения векторных потенциалов мы обсудим на следующей лекции.

Сведение уравнений Максвелла для монохроматических полей к уравнениям для векторов Фарадея.