3.1.3. Абсолютно твердое тело

Существуют такие задачи, в которых размерами тела нельзя пренебречь, но, в то же время, можно не учитывать изменение со временем размеров, формы тела. При решении таких задач используют модель - абсолютно твердое тело, т.е. реальное тело заменяют таким, у которого размеры и форма не меняются.

3.2. Тело отсчета

Тело отсчета - это тело, относительно которого определяют положение рассматриваемого нами тела или системы тел.

3.3. Система отсчета

Это система координат, связанная с телом отсчета (3.2) и выбранный способ измерения времени (часы).

реальный мир		исследователь		модельный мир

В реальном трехмерном мире система отсчета - это набор масштабных стержней (или линеек) и часы, расположенные в разных местах этих линеек. В модельном мире система отсчета превращается в трехмерную систему координат, положение которой связано с положением тела отсчета. В каждой точке пространства существует возможность определить время любого происшедшего в этой точке события.

3.4. Положение материальной точки в пространстве

3.4.1. Координаты точки

Первый способ задать положение материальной точки - это задать ее координаты. Например, три числа x_А, y_А, z_А задают положение точки A в декартовой системе координат.

3.4.2. Радиус-вектор r - это вектор, проведенный из начала координат (3.3) в какую-либо точку пространства.

3.4.2.1. Компоненты радиус-вектора

На плоскости:

В трехмерном пространстве:

- - единичные векторы или орты, направленные по осям x, y, z соответственно;

- x, y, z - компоненты радиуса - вектора. Очевидно, они же являются координатами материальной точки.

3.4.2.2. Модуль радиус-вектора

     - по теореме Пифагора.

3.5. Траектория - это линия, описываемая материальной точкой при ее движении.

3.6. Путь - длина отрезка траектории (3.5) .

3.7. Перемещение - вектор, проведенный из начального положения (3.4.1), (3.4.2) материальной точки (3.1.1) в ее конечное положение.

3.8. Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,

3.8.1. Скорость направлена по касательной к траектории

Так как , то направление векторасовпадает с предельным направлением вектора. На рис. а), б), в) показаны этапы предельного перехода для плоского движения (для простоты иллюстрации):

а)

     При приближении к,по направлению приближается к касательной.

б)

Как известно из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.

в)

Значит, скорость направлена по касательной к траектории .

3.8.2. Компоненты скорости

На следующем рисунке изображен вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Так как .

С другой стороны: ,

откуда ,       так же и,

т.е. компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

3.8.3. Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора:      .

3.9. Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения ,- весь путь,- весь отрезок времени,- const.

Для произвольного движения:

.

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало. В пределе:

,

т.е. путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени.

3.10. Ускорение - это производная скорости по времени.

или      

Учитывая (3.8), получим:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение - это скорость изменения скорости.