14.Дин. сист. с 1 ст. своб
.docЛекция 14
Системы с одной степенью свободы
-
Математическая модель
Податливость определяется аналитически или численно. Ее определение не представляет проблемы да же в сложных конструкциях. Так как есть множество расчетных пакетов для статики. Мера инерции – масса или момент инерции массы также легко определяется расчетом или экспериментально (см. теоретическую механику). Для многих типовых конструкций перемещения (т.е. податливости) приводятся в справочниках.
Рассмотрим еще один характерный пример – вал с массивным диском массой m и моментом инерции массы Jm по средине. Массой вала пренебрегаем.
С
R
мера инерции , а податливость . Значения податливостей легко определяются аналитически. Оставим это упражнение по расчету поперечного изгиба на подготовку к экзамену.
Заметим , что малейшая несимметрия в этой задаче приводит в системе с двумя степенями свободы.
В дальнейшем изложении для сокращения записей меру инерции будем обозначать m, а внешние нагрузки считать силами. Среди действующих сил выделим кроме внешних воздействий P(t) (силовое возбуждение) внутренние: от упругого элемента (u/δ), силы трения (Ртр ) (сопротивления движению), силу инерции и сформулируем условие равновесия инерционного элемента .
После преобразования
. (*)
В формуле обозначено . Модель замыкается начальными условиями: .
Вид уравнения (*) и его решения существенно зависят от Ртр.
Сила трения в общем случае определяется свойствами среды и параметрами движения. При незначительном трении, величиной которого можно пренебречь, и при трении, пропорциональном скорости, уравнение (*) линейно и имеет аналитическое решение. Во всех остальных случаях (сухое трение, трение, зависящее от степени скорости и ускорения, и др.) возможно только численное решение. Решение всегда приближенно, так как модель не полностью соответствует объекту. Важно правильно оценивать степень приближенности при не учете некоторых факторов, что будет сделано ниже.
-
Решение без учета трения
Основное уравнение принимает вид
, (**)
линейно; решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью , т.е.
При этом, решая методом Эйлера, получаем
,
а частное решение ищем в виде правой части или методом вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим основные задачи динамики для этого случая.
1.Очевидно, что - круговая частота собственных колебаний и равна
и мы решили первую основную задачу.
2. Динамический коэффициент при ударе получим в двух вариантах.
Первый – удар с известной скоростью V при P(t)=0. В этом случае u2 =0, начальные условия: u(0)=0, , откуда B=0, и
.
Сила удара , а коэффициент динамичности
.
Здесь обозначено - статическое перемещение, т.е. перемещение от статического приложения веса ударяющего груза.
Второй – удар груза, падающего с высоты H. При этом скорость при ударе , , и решение
.
С учетом граничных условий , и
.
Откуда ,
.
Решена вторая основная задача.
3. Исследуем АЧХ при периодическом возмущении от вибрации основания (кинематическое возбуждение). Уравнение равновесия
приводит к дифференциальному уравнению
.
Частное решение в виде правой части
определяет вынужденные колебания. Коэффициент динамичности – отношение амплитуды вынужденных колебаний основания
, а его зависимость от отношения и есть АЧХ. Защита от вибраций наступает при когда [Кд ] ≤ 1. До этого вибрации больше возбуждения и возможен резонанс.
Резонанс наступает не мгновенно. Рассмотрим процесс подробнее.
.
При нулевых начальных условиях после преобразований
.
При получаем неопределенность типа 0/0. Раскрывая по правилу Лопиталя, имеем
Период вынужденных колебаний
,
и окончательно получаем при резонансе
.
График развития резонанса представлен на рисунке. Если резонанс длится не более Т/2, то Кд<, при и т.д. Таким образом, виброзащита в одномассовой системе достигается при и быстром разгоне до таких частот при запуске.
Решена третья задача динамики.
-
Решение при трении, пропорциональном скорости
Рассматривается случай Ртр =к·. Обозначив , из (*) получаем , (***)
Общее решение однородного уравнения ищем подстановкой Эйлера , что приводит к характеристическому уравнению для
,
решение которого
зависит от соотношения n и : колебательное при и , где ,
и апериодическое при и . Реально трение относительно невелико и практически реализуется колебательное решение, согласно которого
.
Рассмотрим основные задачи динамики и сравним результаты с задачей без учета трения.
-
Круговая частота собственных колебаний
,
где коэффициент демпфирования в естественных условиях не превышает 0,3 и только в специальных устройствах (амортизаторы, устройство гашения колебаний в стрелочных гальванометрах и.т.п.) достигает 0,5. Поэтому, решение с учетом трения мало отличается от решения без учета трения.
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
1,005 |
1,02 |
1,05 |
1,08 |
1.15 |
Таким образом, решение без учета трения практически точно, так как погрешность лежит в пределах точности вычислений в сопротивлении материалов.
2. Учтем затухание колебаний при динамических воздействиях.
Коэффициент затухания за период колебаний
.
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
1,94 |
4,08 |
9,52 |
25,65 |
85,02 |
Как видно из таблицы, собственные колебания быстро затухают и практически могут не учитываться при длительном динамическом процессе.
При ударе, который длится одну четвертую периода,
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
1,18 |
1,42 |
1,75 |
2,25 |
3,04 |
Ударные нагрузки без учета сопротивления рассчитываются с запасом до 1,75.
-
АЧХ с учетом трения, конечно, не уходит в бесконечность при резонансе.
При кинематическом возбуждении
. ****)
Ищем частное решение в виде
.
После подстановки в (****) и приравнивания коэффициентов при синусе и косинусе, получаем систему
,
решение которой
,
позволяет найти . АЧХ при разных значениях представлены на рисунке. Защита от вибраций наступает:
при если , при если , при если .
и менее быстром разгоне при запуске, чем без трения.
-
Численное решение при произвольном трении
Численное интегрирование возможно при любом виде функции Ртр. Рассмотрим в качестве примера сухое трение.
Пусть система выведена из равновесия начальным смещением
При пулевой начальной скорости , а сила трения постоянна и противоположна направлению скорости движения . Тогда система (*) в приращениях
.
Система легко интегрируется в Excel методом Эйлера. Результаты интегрирования при собственной частоте f=1 гц и начальном смещении 1 м приведены ниже. Видно, что с увеличением k степень затухания растет, а собственная круговая частота практически не меняется (). Таким образом, вид трения практически не влияет на частоту собственных колебаний.