4.1 Симметричное сечение

Нормальные напряжения вычисляются по формуле

.

Опасное сечение z=300 мм → M_x=3295 кH·мм (см. эпюры), момент инерции J_x = 17080000 мм⁴ (см. задачу 1, сечение 1). Уравнение нулевой линии Y=0; максимально удалена от нулевой линии точка Y=113,5 мм.

Запас прочности при изгибе

График изменения нормальных напряжений по высоте опасного сечения представлен на рисунке.

4.2 Несимметричное сечение

Главные моменты инерции: J_X =1683800 мм⁴, J_Y=12321000мм⁴, (см. задачу 1, сечение 2); изгибающие моменты в главных осях опасного сечения (внешние силы приложены в вертикальной плоскости). Опасное сечение то же, что и п предыдущей задачеz=300 мм, M_x=3295000 Н∙мм. Проектируя момент на главные оси, получаем

3099805 Н·мм,

1117242 Н·мм.

Нормальные напряжения:

.

Уравнение нулевой линии: .

Координаты опасной точки сечения определяем, используя формулы преобразования координат при повороте осей, как

, .

В опасной точке имеем:

x_A=(140-100,4) =39,6 мм, y_A=(80+73/2-60,7)=55,8 мм, откуда

X=30 мм; Y=97 мм.

Напряжения в опасной точке:

.

Запас прочности при изгибе .

Нулевая линия (пунктир), опасная точка А и график изменения напряжений в опасном сечении представлены на рисунке.

4.2.1 В случае одновременного растяжения и изгиба опасным сечением остается z=300, нормальные напряжения определяются как

.

Уравнение нулевой линии , т.е.

Очевидно, что в нашем примере положение нулевой линии меняется не значительно, положение опасной точки А то же,

.

Запас прочности при изгибе и растяжении

,

т.е. меньше меньшего из расчетов при изгиба и растяжении.

5. Расчеты стержней численным интегрированием дифференциальных уравнений

0. 5.1 Теоретические сведения и алгоритм вычислений

Воспользуемся (2.3.3) применительно к модели (2.2) плоского изгиба и растяжения-сжатия в приращениях;

, (5.1)

, (5.2)

, (5.3)

, (5.4)

, (5.5)

. (5.6)

Аналогично для кручения круглого стержня из (2.2.11)

(5.7)

(5.8)

Для стержня с круговой осью радиуса R применительно к (2.3) получаем

, (5.9)

, (5.10)

, (5.11)

, (5.12)

, (5.13)

. (5.614)

Алгоритм прямого счета следующий.

По формулам (5.1)…(5.8) при некоторых начальных (при z=0) значениях (неизвестные, например, принимаем равными нулю) получаем величины искомых параметров с заданным шагом Δz. Запустив «Поиск решения» и изменив неизвестные начальные значения вычисленными из условий на правом конце, решаем задачу окончательно.

Проверочный расчет при плоском изгибе и растяжении сводится к проверке условия прочности по нормальным напряжениям в опасных точках, т.е. в угловых точках каждого сечения с шагом Δz: вычисления максимального по модулю нормального напряжения в этих точках и сравнения его с допустимым

. (5.15)

При изгибе, растяжении-сжатии и кручении круглого стержня (в общем случае диаметр может быть переменным d(z)) во всех сечениях вычисляем эквивалентные напряжения и сравниваем их с допустимыми

. (5.116)

При проектном расчете вносим дополнения в «Поиск

решения»: объявляем изменяемыми некоторые исходные данные, например, диаметр, и вносим в ограничения условия (5.15) или (5.16).

0. 5.2 Шаблоны листа Excel для проверочного расчета

5.2.1 Косой изгиб и растяжение-сжатие прямого стержня

Этот шаблон также применим для прямого поперечного изгиба и растяжения –сжатия (α₀=0), а также отдельно для растяжения- сжатия или изгиба (если соответствующие внешние нагрузки равны нулю).

Ниже приводится краткое описание шаблона.

Рис. 5.1 Фрагмент шаблона с заданием исходных данных

В колонке А задаются длина стержня, модуль упругости материала, положение главных осей и главные моменты инерции.

В колонку B автоматически заносятся текущие значения z с шагом Δz = l/200, начиная с z=0.

В колонки C…G в соответствующие строки вносятся внешние нагрузки.

В колонки H,I вносятся площадь сечения и центральный момент инерции в осях, параллельных исходным. Эти величины могут быть функциями от z.

Рис. 5.2 Фрагмент шаблона с решением основной модели

В колонках J…O начиная с 4-ой строки записаны формулы (5.1)…(5.6), например в N5 :=N4+M4/($A$8*I4)*$A$6. В третью строку записываются граничные условия на левом конце. В примере ,приняты равными единице, так как подлежат определению «Поиском решения».

В колонках P,Q вычисляются изгибающие моменты относительно главных осей:

, .

Для удобства формулирования «Поиска решения» рекомендуется выделять эти изменяемые ячейки серым цветом. В последней строке с той же целью рекомендуется выделить коричневым цветом те ячейки, которые входят в известные граничные условия на правом конце. В примере это .

-20303,4	0,00019	-6460,36	32538,7	0,00233	0,01167
-20803,4	4,6E-12	-6410,36	0,04069	0,00233	-4,8E-07
N	w	Q	M	φ	v

При этом «Поиск решения»:

После решения вычисляются нормальные напряжения во всех сечениях и крайних точках сечений по формуле

,

Определяется максимальное по модулю значение и вычисляется запас прочности. Этот алгоритм применим только для стержня постоянного сечения.

В таблицу справа внизу вносятся координаты крайних точек сечения (в примере 4 точки), в ячейку v9- значение допускаемого напряжения. Остальные расчеты выполняются автоматически.

В столбцах R…U цветом выделяются ячейки с максимальным и минимальным нормальным напряжением, т.е определяются опасное сечение и опасная точка. В примере это первая точка при z=300.

-46,81	-20,68	-25,91	27,74
181,25	57,08	81,93	-172,99
180,64	56,93	81,68	-172,30

Рис. 5.3 Фрагмент шаблона для вычисления запаса прочности