
- •Введение
- •Некоторые математические модели стержней в сопротивлении материалов
- •2.1 Плоский изгиб и растяжение прямого стержня
- •2.3.1 Статически определимые стержни с круговой осью. Аналитическое решение.
- •2.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
- •2.5.Вычисление перемещений в заданной точке с помощью интеграла Мора и по способу Верещагина
- •2.5.4 Метод сил
- •Основные сведения об электронных таблицах excel
- •Методические указания к выполнению заданий за 1-ый семестр
- •Вычисление главных центральных моментов инерции
- •Исследование внутренних сил и перемещений при растяжении на основе аналитического решения
- •Исследование внутренних сил и перемещений при изгибе на основе аналитического решения
- •Исследование запаса прочности по нормальным напряжениям
- •4.5 Требования к оформлению и пример отчета по ргр за 1-ый семестр. Примеры выполнения ргр
- •1.1.1 Симметричное сечение
- •1.1.2. Несимметричное сечение
- •4.1 Симметричное сечение
- •4.2 Несимметричное сечение
- •5. Расчеты стержней численным интегрированием дифференциальных уравнений
- •5.1 Теоретические сведения и алгоритм вычислений
- •5.2 Шаблоны листа Excel для проверочного расчета
- •5.2.1 Косой изгиб и растяжение-сжатие прямого стержня
- •5.2.2 Плоский изгиб и растяжение-сжатие и кручения круглого прямого стержня
- •5.2.3 Плоский изгиб и растяжение-сжатие стержня с круговой осью
- •Анализ и оформление результатов
- •6. Примеры выполнения и оформления отчета по задачам второго семестра
- •6.1 Проектный расчет при изгибе и кручении
- •6.2 Расчет многоопорных балок
- •6.3 Расчет рамы
- •6.3.1 Особенности алгоритма расчета
- •6.3.2 Пример расчета рамы
- •6.4 Вычисление коэффициента приведения длины в расчете на устойчивость
- •6.5 Вычисление допустимой высоты падения груза на нагруженную балку
- •6.6 Вычисление частот собственных поперечных колебаний однородных стержней
- •6.6.1 Особенности алгоритма расчета
- •6.6.2 Пример расчета
- •6.7 Расчет на прочность стержней с круговой осью
- •6.8 Вычисление перемещений по методу Верещагина
- •7. Примеры заданий на зачёт или защиту ргр
- •8.2.Сортамент стандартных профилей
- •Библиографический список
- •Содержание
- •1.Введение ………………………………………………………………
- •2. Некоторые математические модели стержней в сопротивлении материалов ………………………………. 8
- •3. Основные сведения об электронных таблицах
- •7. Примеры заданий на зачёт или защиту ргр…..67
Исследование запаса прочности по нормальным напряжениям
Запас прочности определяется по формуле:
,
где
– допускаемое напряжение, МПа;
–абсолютное
значение максимального расчётного
напряжения, МПа.
Нормальные напряжения определяется по схеме, изложенной в конце пункта 2.1.:
Для нахождения максимальных значений напряжений в формулу подставляются экстремальные величины нагрузок и координаты опасных точек сечения.
В случае косого изгиба с растяжением-сжатием необходимо проверить несколько предполагаемых опасных сечений.
При
расчете на ЭВМ интегрированием
дифференциальных уравнений вычисляются
значения
во всех точках разбиения по длине
стержня и в координатах крайних точек
сечения; выбирается максимальное по
модулю значение.
4.5 Требования к оформлению и пример отчета по ргр за 1-ый семестр. Примеры выполнения ргр
После завершения численных расчетов, тестирования и приема задания преподавателем необходимо оформить отчет по каждой задаче.. В конце семестра оформляется титульный лист, общий для всех заданий, и проводится защита РГР.
Пример выполнения РГР представлен ниже.
ЗАДАЧА 1.1
Цель – определение положения главных центральных осей и величины главных центральных моментов инерции для симметричного и несимметричного сечений.
В каждой задаче выполняется чертеж сечения в масштабе. Допускается упрощенное изображение стандартных фигур.
На чертеже должны быть указаны все размеры, необходимые для расчета положения центров тяжести составляющих фигур. Нанести координаты центров тяжести фигур, координаты центпра тяжести сечения, исходные оси для расчета (yox), центральные оси сечения и составляющих фигур, параллельные исходным (YcOcXc и yioixi), и главные центральные оси YOX. Для несимметричного сечения указать угол поворота для главных осей α0.
1.1.1 Симметричное сечение
Рис переделать, указав только необходимые размеры и правильно обозначив оси!!!!!
1. Исходные данные задачи
Разбиваем сечение на простые фигуры. Величины, необходимые для расчета:
Фигура №1
Прямоугольник 140х60
А1=84 см2
Jx1=252 см4
Jy1=1372 см4
Фигуры №2,3
Швеллер № 10
А2,3=10,9 см2
Jx2,3=174 см4
Jy2,3=20,4 см4
а1=3 см, b1=7 см а2=11 см, b2=3,16 см
а3=11 см, b3=10,84 см.
2. Определяем положение центра тяжести:
xc==7
см, yc=
=4,65
см.
, b2=3,16 см, b3=10,84 см.
3.Определяем центральные осевые моменты инерции сечения, используя формулы преобразования при параллельном переносе осей:
Jxc=(Jx1+(a1–yc)2А1)+(Jx2+(a2–yc)2А2)+(Jx3+(a3–yc)2А3)=1708 см4
Jyc=(Jy1+(b1–xc)2А1)+(Jy2+(b2–xc)2А2)+(Jy3+(b3–xc)2А3)=1734 см4
Вследствие симметрии центробежный момент инерции равен нулю. Оси и моменты инерции – главные, т.е. главные моменты инерции
JX= Jxc JY= Jyc.
1.1.2. Несимметричное сечение
Рис переделать, указав только необходимые размеры и правильно обозначив оси!!!!!
1. Исходные данные задачи
Разбиваем сечение на простые фигуры. Величины, необходимые для расчета:
Фигура №1
Двутавр № 14
F1=17,4 см2
Jx1=41,9 см4
Jy1=572см4
Jx1y1=0 см4
Фигура №2
Уголок № 8
F2=8,63 см2
Jx2=52,7 см4
Jy2=52,7 см4
J u min=21.8 см4
а1=8 см, b1=7 см а2=2,17 см, b2=16,17 см
2. Определяем положение центра тяжести:
xc==10,04
см
yc==6,07см.
3.Определяем центральные осевые моменты инерции сечения, используя формулы преобразования при параллельном переносе осей:
Jxc=(Jx1+(a1–yc)2А1)+(Jx2+(a2–yc)2А2)=290,68 см4
Jyc=(Jy1+(b1–xc)2А1)+(Jy2+(b2–xc)2А2)=1109,8 см4
Jxcyc=(Jx1y1+(a1–yc)(b1–xc)А1)+(Jx2y2+(a2–yc)(b2–xc)А2)=-339,3см4.
Величина
центробежного момента инерции уголка
определяется по формуле для поворота
от главной оси (с минимальным моментом
инерции
)
на угол, указанный в справочных таблицах.
Для нашего равнобокого уголка это -450
и
=-30,9
см4
4. Определяем угол поворота до главных осей сечения:
=
-0.828 → α=-19,82°
5. Определяем главные центральные моменты инерции, используея формулы преобразования при повороте осей:
JX=Jxс·cos2α + Jyс·sin2α – Jxcyс·sin2α=168,38 см4
JY=Jyс·cos2α + Jxс·sin2α + Jxcyс·sin2α=1232,1 см4
ЗАДАЧА 1.2
Цель – расчет на прочность и определение жесткости стального стержня при растяжении- сжатии.
Исходные данные задачи *.
P, кН |
q, Н/м |
a, мм |
c, мм |
d, мм |
l, мм |
[σ] МПа |
E, МПа |
|
-70 |
100 |
300 |
400 |
1000 |
1000 |
120 |
200000 |
0,32 |
Площадь сечения берем из задачи 1.1.1
* Расчетную схему выполнить в масштабе по длине стержня.
1. Разбиваем стержень на участки
I – 0 ≤ z< 300, II – 300 ≤z< 400, III – 400 ≤z< 1000.
2. Формулируем граничные условия:
при z=0 N0 (не определено), W0=0;
при z=l N(l) (не определено), W(l)=0.
3.Вычисляем N(z) и w(z).:
Записываем уравнения продольных сил и перемещений по участкам и в обобщенном виде:
по участкам: I N(z) = N0,
W(z) = W0+[ N0·z]/(EF);
II N(z) = N0 – P,
W(z) = W0+[N0·z – P·(z-a)]/(EF);
III N(z) = N0 – P – q·(z-b),
W(z) = W0+[N0·z – P·(z-a) – q·(z-b)2/2]/(EF).
в обобщенном виде:
N(z) = N0 |I – P|II – q·(z-b)|III,
W(z) = W0+[N0·z|I – P·(z-a)|II – q·(z-b)2/2|III]/(EF);
Определяем неизвестное значение N0 из граничного условия на правом конце:
W(l) = W0+[N0·l – P·(l-a) – q·(l-b)2/2]/(EF)=0;
но
W0=0,
N0=(P·(l-a)+q·(l-b)2/2)/l=-31000
Н.**
Определяем характерные точки графиков N(z) и W(z) и строим их в масштабе под схемой нагружения.1
Участок: I N(0) = N0 =-31000 Н,
N(a) = N0 =-31000 Н.
W(0) = [N0·0]/(EF)=0;
W(a) = [N0·a]/(EF)=-0,465 мм***.
II N(a) = N0 – P =39000 Н,
N(b) = N0 – P =39000 Н.
W(a) = [N0·a – P·(a-a)]/(EF)= -0,465 мм,
W(b) = [N0·b – P·(b-a)]/(EF)=-0,270 мм.
III N(b) = N0 – P – q·(b-b) =39000 Н,
N(l) = N0 – P – q·(l-b) =-21000 Н.
W(a) = [N0·b – P·(b-a) – q·(b-b)2/2]/(EF)= -0,270 мм,
W(l) = [N0·l – P·(l-a) – q·(l-b)2/2]/(EF)=0 мм.
Для
параболы определяем третье значение.
Выбираем экстремальное значение при
z3(N=0),
т.е. 0= N0
– P
– q·(z3-b),
откуда z3=790
мм,
W(z3)
= [N0·
z3
– P·(
z3-a)
– q·(
z3-b)2/2]/(EF)=0,110
мм.
По результатам расчетов строим эпюры N(z) и w(z) в масштабе расчетной схемы
4.
Нормальные напряжения определяются по
формуле
.
Опасное сечение z=300, где N максимально по модулю. Определяем запас прочности по нормальным напряжениям для обоих сечений по формуле:
.
Симметричное сечение:
Несимметричное сечение:
5. Вычисляем главные линейные деформации в опасном поперечном сечении по формулам:
,
,
.
В
задаче
.
Для сечения меньшей площади (несимметричного) получаем:
,
.
6. Определяем изменение размеров сечения:
– ширина
сечения 220 мм уменьшается на 220·=0,0059·
мм,
– высота сечения 116,5 мм уменьшается на 116,5 ·2,67·10-7 =0,0031мм.
ЗАДАЧА 1.3
Цель – расчет на прочность и определение жесткости стального стержня при прямом поперечном изгибе.
Исходные данные задачи *.
P, кН |
q, Н/мм |
L, кН·м |
a, мм |
с, мм |
d, мм |
l, мм |
b, мм |
[σ] МПа |
EJх, Н·мм2 |
7 |
-10 |
-4 |
700 |
700 |
1000 |
1000 |
300 |
120 |
2·1011 |
* Момент инерции принять как в задаче 1.1.1.
1. Разбиваем стержень на участки.
I – 0 ≤ z< 300, II – 300 ≤z< 700, III – 700 ≤z< 1000.
2. Формулируем граничные условия.
при z=0 Q0 (не определено), MX0=0;
φ0 (не определено), V0=0;
при z=l MX(l)=0
V(l) =0;
3.Записываем уравнения внутренних сил и перемещений по участкам и в обобщенном виде.
по участкам: I Q(z) = Q0,
MX(z) = MX0+ Q0·z,
φ(z) = φ0+ [MX0·z+ Q0·z2/2]/(EJx),
V(z) =V0- φ0·z – [M0·z2/2+ Q0·z3/6]/(EJx),
II Q(z) = Q0,
MX(z) = MX0+ Q0·z – L,
φ(z) = φ0+ [M0·z+ Q0·z2/2 – L·(z-d)]/(EJx),
V(z) =V0- φ0·z – [M0·z2/2+ Q0·z3/6-L·(z-d)2/2]/(EJx),
III Q(z) = Q0 – P – q·(z-c),
MX(z = MX0+ Q0·z-L – P·(z-a) – q·(z-b)2/2,
φ(z) = φ0+ [MX0·z+ Q0·z2/2 – L·(z-d) – P·(z-a)2/2 – q·(z-b)3/6]/(EJx),
V(z) =V0 – φ0·z – [MX0·z2/2+Q0·z3/6 – L·(z-d)2/2 –P·(z-a)3/6–
-q·(z-b)4/24]/(EJx),
в обобщенном виде:
Q(z) = Q0 |I + 0|II – P – q·(z-c) |III,
MX(z) = MX0+ Q0·z |I – L |II – P·(z-a) – q·(z-b)2/2|III ,
φ(z) = φ0+ [MX0·z+ Q0·z2/2 |I – L·(z-d) |II – P·(z-a)2/2 – q·(z-b)3/6]/(EJx) |III
V(z) =V0 – φ0·z – [MX0·z2/2+Q0·z3/6|I – L·(z-d)2/2|II – P·(z-a)3/6 –
– q·(z-b)4/24]/(EJx) |III;
Определяем неизвестные значения Q0 и φ0 из граничных условий.
MX(l) = MX0 + Q0·l – L – P·(l-a) – q·(l-b)2/2=0;
V(l) =V0 – φ0l – [M0·l2/2+Q0·l3/6 – L(l-d)2/2 – P·(l-a)3/6 – q·(l-c)4/24]/(EJx)=0.
но
MX0=V0=0,
Q0=(P·(l-a)+q·(l-b)2/2+L)/l=-2350
Н
φ0= – [MX0·l2/2+Q0·l3/6 – L·(l-d)2/2 – P·(l-a)3/6 – q·(l-c)4/24]/(l·EJx)=-2,64·10-3
**При наличии отметки у преподавателя о правильном выполнении теста, расчёт по участкам и экстремальных значений можно не приводить.
По результатам расчетов строим эпюры Q(z), MX(z), φ(z) и v(z) в масштабе расчетной схемы/
4. Определяем распределение нормальных напряжений по сечению и запас прочности от действия поперечных сил и изгибающих моментов.