4. Исследование внутренних сил и перемещений при растяжении на основе аналитического решения

Формулы (2.2.2) и (2.2.3) для вычисления продольной силы и перемещения для конкретной задачи удобно представить как накапливающуюся сумму по участкам. Участком называют часть стержня, в пределах которой вид уравнения не меняется. В примере на рис. 4.4 таких участков четыре, и уравнения можно записать как

N(z) = N(о)│_I – q(z - a) │_II – q(z - b) │_III + P│_IV. (4.10)

EFW(z)=EFW(o) + N(о)z│_I –q(z - a)²/2│_II –q(z - b)²/2│_III +P(z-c) │_IV.

Рис. 4.4 Схема нагружения на растяжение-сжатие.

Алгоритм решения задачи на растяжение-сжатие следующий:

• По схеме нагружения стержень разбивается на участки и составляются уравнения продольных сил и линейных перемещений.

• Формулируются граничные условия и вычисляются неизвестные N(о) или W(o).

• Далее следует достаточно трудоёмкий вычислительный процесс значений продольных сил и линейных перемещений по участкам, и, наконец, построение эпюр.

Контрольно-обучающая программа для задачи 1.2 позволяет реализовать алгоритм расчета и одновременно получать заключение о правильности решения на каждом этапе.

Студенту преподавателем выдается эскиз схемы нагружения и закрепления, параметры которых он вносит на лист (см. рис. 4.5.).

Исходные данные		Z/L	Тип закрепления	Код защиты листа -1 . Использовать при запуске ПОИСКА РЕШЕНИЯ
P1, H	-70000		3
a1, мм	300	0,3
P2, H	0
a2, мм	0	0,0
q, н/мм	100		Варианты закрепления
c, мм	400	0,4	1	Рисунок 1
d, мм	800	0,8	2	Рисунок 2
l ,мм	1000		3	Рисунок 3
A,мм2	10580		Цветами
Модуль Юнга	200000		обозначены:
шаг δz,мм	5		Ячейки необходимо заполнить
			Ячейки, показывающие правильность ответа
			Указывающие ячейки
			Разделительные ячейки
			Ячейки с начальными условиями

Рис. 4.5. Фрагмент листа с заданием исходных данных

В примере сила Р₁ = -70000Н приложена в точке z=300мм, погонная нагрузка q_z=100 Н/мм начинается при z=400мм и кончается при z=800мм. Длина стержня l=1000мм, площадь (из задания 1.1) A=10580 mm², модуль Юнга Е=200000 МПа. Шаг вычислений вычисляется автоматически. Тип закреплении 3 – защемление обоих концов стержня.

Пояснения к пользованию программой имеются в виде текста.

Утомительная процедура построения эпюр (а именно, расчет стержня по участкам и представление данных в графическом виде), в MICROSOFT существенно упрощается. Для этого, необходимо лишь указать диапазон и машина автоматически выдаёт график, который можно разнообразно оформить и сделать необходимые надписи.

Фрагмент листа с контролем этапов решения представлен на рис.4.6.

  

		►►►	Участок	Начало	Конец
Заполнение таблицы границ участков			1	0	300	правильно
			2	300	400	правильно
			3	400	800	правильно
			4	800	1000	правильно
			5			правильно
Заполнение таблицы граничных условий				No	Wo
		Левый конец		1	0	правильно
				Nk	Wk
		Правый конец		1	0	правильно
Уравнения продольных сил по участкам				1 участок		правильно
				2 участок		правильно
				3 участок		правильно
				4 участок		правильно
				5 участок		правильно
Уравнения продольных перемещений по участкам				1 участок		правильно
				2 участок		правильно
				3 участок		правильно
				4 участок		правильно

Рис. 4.6. Фрагмент листа с контролем решения

Разбиение стержня на участки заключается в указании координат начала и конца каждого участка в миллиметрах..

Примечание: правильность заполнения контролируется программой, результат индицируется здесь и далее в столбце М.

В столбце А значений z участки автоматически выделяются цветом фона ячеек (в примере А3…А63, А64…А83, А84…A163, A164…А203).

Формулировка граничных условий заключается в заполнении ячеек К34, L34, K36, L36. Неопределенное значение принимаются равными единице.

Уравнения продольных сил и перемещений записываются в ячейки 3…203 столбцов В и С соответственно по правилам EXCEL. При этом константы в формулах следует записывать ссылкой на соответствующие ячейки и последующим нажатием F4, после чего в адресе ячейки появляется знак $. Например, ссылка на N₀ →$K$33, на а→$E$6 и т.д. Ссылка на z – ссылка на соответствующую ячейку столбца А. Тогда, «протягивая» формулу вниз, мы автоматически заполняем ячейки параметров N и W. Для упрощения процесса следует сначала заполнить весь столбец формулой первого участка, а затем добавлять следующие члены, начиная с начала каждого последующего участка и протягивать их до конца стержня. Программа контролирует правильность введения формул отдельно по каждому участку.

В примере:

Участок I

= $K$34 записать в ячейку В3 и «протянуть» до В203,

= $L$34 +($K$33 *А3)/($E$10*$E$11) записать в ячейку C3 и «протянуть» до C203;

Участок II

= -$E$2 добавить в формулу ячейки В64 и «протянуть» до В203,

=-$E$2*(А64-$Е$3) добавить в первую скобку ячейки C64 и «протянуть» до C203;

Участок III

= -$E$6*(A84-$E$7) добавить в формулу ячейки В84 и «протянуть» до В203,

= -$E$6*(А84-$Е$7)^2/2 добавить в первую скобку ячейки C84 и «протянуть» до C203.

Участок IV

= +$E$6*(A84-$E$8) добавить в формулу ячейки В164 и «протянуть» до В203,

= +$E$6*(А84-$Е$8)^2/2 добавить в первую скобку ячейки C164 и «протянуть» до C203.

Определение неизвестного значения N₀ или W₀ из граничных условий проводится с помощью специального алгоритма «Поиск решения». Для этого снимается защита листа (код указан на листе) и вызывается процедуру «Поиск решения» (см. рис. 4.7).

Рис. 4.7. «Поиск решения» для примера

Рис. 4.8. ЭпюрыN(z) и w(z) для примера

В нашем случае изменяемая ячейка – значение N₀, а целевая С303 – значение перемещения на правом конце, в которой должен получиться ноль. После нажатия «Выполнить» программа находит требуемое число и заносит его в К34.

Графики N(z) и W(z) строятся программой автоматически с учетом определенных значений. Графики для примера, «облагороженные» для текста пособия, приведены на рис.4.8.

После того, как студент выполнит задание, и результат утвержден преподавателем, результаты расчетов можно использовать для составления отчета и в последующих заданиях.

Примечание: лист «Шаблон» не защищен от сохранения.