2. Некоторые математические модели стержней в сопротивлении материалов

Полная модель стержня в сопротивлении материалов содержит 12 параметров, зависящих от координаты сечения ( z - для прямого, α – для стержня с круговой осью, и т.п.). Это шесть внутренних сил и моментов, три перемещения точки оси и три угла поворота сечения относительно главных центральных осей сечения до деформирования. Очевидно, что аналитическое решение этой задачи невозможно.

Ниже без вывода применительно к стержням и стержневым системам рассматриваются основные модели сопротивления материалов, частные случаи моделей, допускающие аналитическое решение, и простейший прием численного интегрирования дифференциальных уравнений моделей (метод Эйлера).

2.1 Плоский изгиб и растяжение прямого стержня

Рассматривается изгиб в одной из главных плоскостей, например в плоскости zоy. Параметры задачи – внутренние силы в проекции на ось в недеформированном сечении N(z), Q(z), M_x(z), перемещения точек оси вдоль исходных осей V(z), W(z) и поворот сечения относительно оси x - φ(z). Расчетная схема представлена на рис.2.1. Задача решается в главных центральных осях.

Рис. 2.1. Положение элемента прямого стержня до и после нагружения

Внешние погонные нагрузки q_y(z) и q_я(z) заданы в проекциях на исходные оси. Продольная и поперечная силы в сечении после деформирования обозначены Q_z(z) и Q_y(z), длина отрезка оси – dz_1. Очевидно

, .

Применена гипотеза плоских сечений. При этом нормальные напряжения в сечении определяются по формуле

,

где А –площадь сечения, J_x –главный момент инерции (в плоскости изгиба).

При малых углах поворота в сопротивлении материалов применяется более простая зависимость

.

Максимальные нормальные напряжения в сечении имеют место в точке, наиболее отдаленной от нулевой линии, уравнение которой

Параметры задачи определяются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений

,

,

,

,

,

. .

при соответствующих граничных условиях. Система шестого порядка, не линейна, содержит трансцендентные выражения и не имеет решений в элементарных функциях.

Шесть граничных условий для конкретной задачи всегда формулируются, так как при любом закреплении концов стержня, на каждом конце известны по три условия:

- жесткое закрепление v = 0, w = 0,  = 0;

- шарнирно-неподвижное закрепление M_x = 0, v = 0, w = 0;

- шарнирно-подвижное закрепление M_x = 0, v = 0, N = 0;

- свободный конец M_x = 0, Q_y = 0, N = 0 и т.д.

Система дифференциальных уравнений (2.1) записана в каноническом виде, пригодном для численного интегрирования, и не требующем предварительного преобразования.

При малых углах поворота сечений  в сопротивлении материалов принимают .Для жестких материалов величиныимного меньше единицы.C учетом сказанного, система дифференциальных уравнений (2.1) упрощается и принимает вид:

(2.2)

Система не линейна, может содержать переменные коэффициенты (при переменном сечении A = A(z) и J_x = J_x(z)) и кусочно-непрерывные функции в правой части (q_y = ). Именно в этой постановке решается задача в сопротивлении материалов в тех частных случаях, когда возможно аналитическое решение, т.е. когда модель представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами не выше 4-го порядка..

При изгибе в другой главной плоскости XOZ модель идентична с точностью до знака.

При растяжении-сжатии и изгибе в двух главных плоскостях применяется принцип суперпозиции, изгибы считаются независимыми друг от друга, а нормальные напряжения в сечении вычисляются как

.

Максимальные нормальные напряжения в сечении имеют место в точке, наиболее отдаленной от нулевой линии, уравнение которой

.

Рассмотрим некоторые частные случаи, допускающие аналитическое решение.

1. Растяжение-сжатие прямого стержня

При отсутствии изгиба система (2.2) принимает вид

. (2.2.1)

Ограничимся случаем нагружения только постоянными погонными нагрузками с началом в точках, заканчивающихся в точкахи сосредоточенными силами, приложенными в точках. Сосредоточенную силу рассматриваем как погонную нагрузку на отрезкеdz - . Последовательно интегрируя уравнения системы, получаем

, (2.2.2)

(2.2.3)

Значения продольной силы и перемещенияв начале координат (на левом конце стержня) находим из граничных условий (условий закрепления концов). Например, на свободном конце, на закрепленном конце.

2. Прямой поперечный изгиб

Осевые нагрузки иотсутствуют, один из концов свободен в осевом направлении и N=0. Система (2.2) принимает вид

. (2.2.4)

Ограничимся случаем нагружения только постоянными погонными нагрузками с началом в точках, заканчивающихся в точках, и сосредоточенными силами, приложенными в точках, и сосредоточенными моментами, приложенными в точках.

Последовательно интегрируя уравнения системы, получаем

, (2.2.5)

, (2.2.6)

(2.2.7)

(2.2.8) Значения поперечной силы , изгибающего момента, угла полворотаперемещенияв начале координат (на левом конце стержня) находим из граничных условий (условий закрепления концов). Например, на свободном концеи, на защемленном концеи, на шарнирном концеи.

3. Продольно-поперечный изгиб

Случай поперечного изгиба и сжатия постоянной по величине известной продольной силой . Система (2.2.2) принимает вид

. (2.2.9)

Особый интерес представляет решение однородного уравнения

, (2.2.10)

где , постоянныенаходятся из граничных условий, учитывая что.

Условие ненулевого решения однородного уравнения (2.2.10) позволяет определить критическую сжимающую силу

.

Здесь -коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа закрепления концов стержня (при шарнирном закреплении концов,при жестком закреплении концов,при шарнирном закреплении одного и свободном втором конце,при шарнирном закреплении одного конца и жестком второго.

Аналитическое определение Р_кр при сжатии части стержня приводит к увеличению порядка системы и необходимости решения трансцендентного алгебраического уравнения, часто не разрешимого в квадратурах. Численное определение в этом случае – одна из задач второго семестра.

2. Кручение круглого стержня

Модель идентична растяжению с точностью до обозначений:

. (2.2.11)

Соответственно в решении (2.2.2), (2.2.3) следует заменить погонную нагрузку погонным крутящим моментом , сосредоточенную силу – сосредоточенным крутящим моментом, перемещение – углом поворота, модуль нормальной упругости - модулем сдвига, площадь сечения – полярным моментом инерции.

Значения крутящего момента и угла поворотав начале координат (на левом конце стержня) находим из граничных условий (условий закрепления концов). Например, на свободном конце, на закрепленном конце.

Иногда приято обозначать .

2. Плоский изгиб и растяжение стержня с круговой осью

Расчетная схема представлена на рис. 2.2. Математическая модель стержня с круговой осью радиуса R в малых перемещениях–система обыкновенных дифференциальных уравнений 6-го порядка:

Рис.2.2. . Положение элемента стержня с круговой осью радиуса R до и после нагружения

(2.3)

и соответствующие граничные условия. Модель идентична модели прямого стержня за исключением вида дифференциальных уравнений и

координаты сечения (α вместо z). Нормальные напряжения вычисляются по той же схеме.