Landsberg-1985-T2

'1. 159.1. в'сеть переменного тока с частотой 50 Гц ВКJlючеи кокден·

сатор емкостн 20 мкФ. Напряжение сети равно 220 В. Какой ток

пройдет через конденсатор?

Индуктивное сопротивление катушки, напротив, воз­

растает с увеличением частоты тока и индуктивности ка­

тушки. Действительно, э. д. с. самоиндукции, уменьшаю­

щая ток в цепи, равна Ltli/М. Чем 'больше частота тока, тем

быстрее происходят его изменения; т. е. тем больше отно­

шение /1i1 /1t. Таким образом, с ростом частоты тока и ИН­

дуктивности катушки увеличивается и индуцируемая в

ней э. д. с.; стремящаяся противодействовать изменениям первичного поля. Ток при этом уменьшается, т. е. сопро­

тивление цепи переменному току возрастает.

Расчет и опыт дают для синусоидального переменного

тока

Полное сопротивление цепи Z переменному току в слу­ чае, когда цепь содержит и активное сопротивление R и индуктивное сопротивление Х! (или емкостное сопротив­ ление ХС или и то и другое), составляется из этих величин, но, вообще говоря, оно не равно' простой сумме этих со­ противлений *).

§ t 60. Сложение токов при параллельном включении сопро­

тивлений в цепь перемеииого тока. Включим в цепь пер~­

менного тока две параллельные ветви, содержащие актив­

ные сопротимения R' и R" и амперметры A1 и Az, измеряю­

щие токи 11 И 12 В этих ветвях (рис. 301). Третий ~мперметр

А измеряет ток в неразветвленной цепи. Положим сначала,

что оба сопротивления R' и R" представляют собой лампоч­ ки накаливания 'или реостаты, ИНДУI{ТИВНЫМ сопротивле­

нием которых можно пренебречь по сравнению с их актив­

IfЫM сопротивлением (рис. 301, а). Тогда, так же как и в

случае п.остоянного тока, мы убедимся в том, что показание

амперметра А равно сумме показаний амперметров 41 и

А•• т. е. 1=/1+1•. Если сопротивления R' и R" представ-

.) Полное сопротивление ВЫЧИСJlяется по формуле

z= Y.RI+<XL.-Хс)З.

(ПрuAtfJl,. ред.)

Э84

Заменим теперь в одной из ветвей (рис. 302, а и б) ак· тивное сопротивление емкостным (конденсатором) или ин­ дуктивным (катушкой с большой ИНДУКТИВljОСТЬЮ И малым активным сопротивлением). Опыт дает в этом случае резуль­

тат, кажущийся на первый взгляд странным: ток в нераз­ ветвленнои цепи I оказывается меньшим, чем сумма токов

в обеих ветвях: 1</1+/2' Если, например, ток в одной вет­ ви равен 3 А, а в другой - 4 А, то амперметр в неразветвлен­ нои цепи покажет не ток 7 А, как мы ожидали бы, а только ток 5 А, или 3 А, или 2 А и т. д. Ток / будет меньше суммы то­

ков 11 И /2 И тогда,когда сопротивление одной ветви ем­

костное, а другой - индуктивное (рис. 302, в).

Таким образом, если сопротивления nараллельных вет­

вей различны по своей природе, то ток внеразветвленной цепи меньше CYht,J{b! токов в отдельных ветвях.

Чтобы разобраться в этих явлениях, заменим в схемах на рис. 301 и 302 амперметры осциллографами и запишем форму кривой тока в каждой из параллельных ветвей *). Оказывается, что тою! разной природы в каждой из вет­

вей не совпадают по фазе ни друг с другом, ни с токО\1 В не­ разветвленной цепи. В частности, ток в цепи с акmИ6l-lЬUrl. сопротивлением опережает по фазе на четверть периода

ток в цепи с emkocmHbl,l-t сопротивлением и отстает по фазе

на четверть периода от тока в цепи с индУКJnивнbl.М сопро­

тивлением.

В этом случае кривые, изображающие форму тока в не­

разветвленной цепи и в какой-нибудь из ветвей, располо­

жены относитеЛЬ110 друг друга так, как кривые 1 и 2 на рис. 294. В общем же случае, в зависимости от соотношения

между активным и емкостным (или индуктивным) сопротив­

лениями каждой из ветвей, сдвиг фаз между током в этой

ветви и неразветвленным током может иметь любое значе­

ние от нуля до ±л/2. Следовательно, при САtешанном со­

противлении разность фаз Аtежду токами в nараллеЛЬ1-lblХ ветвях цепи м,ожет иметь любое значение между нулем и

±л.

Это несовпадение фаз токов в параллельных ветвях

с сопротивлениями, различными по своей природе, и явля­

ется причиной тех явлений, о которых было сказано в на­

чале этого параграфа. действительно, для мгновенных зна­

чений токов, т. е. для тех значений, которые эти токи имеют

в один и тОт же момент времени, соблюдается известное

э86

правил,ОZ

i= Ё! +i,.·

Но дди амплитуд (или действующих значений) этих токов

это правило не соблюдается, потому что результат сложения

двух синусоидальных токов или иных двух величин, изме­

няющихся по закону синуса, зависит от разности фаз меж­

ду складываемыми величинами.

В самом деле, предположим для простоты, что амплитуды

складываемых токов одинаковы, а разность фаз между

';.

tJ)

Рис. 303. Сложение двух синусоидальных переменных токов. Склады­

ваемые токи; а) совпадают по фазе (ср=О); б) противоположны по фазе,

т. е. сдвинуты во времени Ifа половину периода (<р=л); 11) сдвинуты во

времени на четверть .пернода (ср=n/2)

ними равна нулю. Тогда мгновенное значение суммы двух

токов будет равно просто удвоенному значению мгновенного

значения одного из складываемых токов, т. е. форма резуль­

тирующего тока будет представлять собой синусоиду с тем же периодом и фазой, но с удвоенной амплитудой. Если амплитуды складываемых токов различны (рис. зоз, а), то

сумма их представляет собой синусоиду с амплитудой, рав­

ной сумме амплитуд склады:ваемых токов. Это имеет место,

когда разность фаз между складываемыми токами равна нулю, например когда сопротивления в обеих параллелъ­

ных ветвях одинаковы по своей !,рироде.

Рассмотрим теперь другой крайний случай, коrда скла­

дываемые токи, имея равные амплитуды, противоположны

по фазе, т. е. разность фаз между ними равна n. В этом слу­

чае мгновенные значения складываемых тоКОв равны по мо­

дулю, но противоположны по направлению. Поэтому их

алгебраическая сумма будет постоянно равна нулю. Таким образом, при сдвиге фаз на 11: между токами в обеих ветвях, несмотря на наличие токов в каждой из параллельных вет­

вей, в неразвеТБленной цепи тока не будет. Если амплитуды

обоих смещенных на n токов различны, то мы получим результирующий ток с той же частотой, но с амплитудой,

равной разности амплитуд складываемых токов; по фазе этот ток совпадает с током, имеющим большую амплитуду

(рис. 303, б). Практически этот случай имеет место тогда,

когда в одной из ветвей имеется емкостное, а в другой - ин-

, дуктивное сопротивление. . .

в оtщем случае при сложении двух синусоидальных

токов одной и той же частоты со сдвигом фаз мы получаем

всегда синусоидальный ток той же частоты с амплитудой,

которая в зависимости от разности фаз ер имеет промежуточ­

ное значение между разностью амплитуд складываемых то­

ков и их суммой. Для примера на рис. 303, в показано гра­

фическое сложение двух токов с разностью фаз ер=n/2.

С помощью циркуля легко убедиться в том, что каждая ордината результирующей кривой i действительно пред­ ставляет собой алгебраическую сумму ординат кривых i1 и i 2 С одинаковой абсциссой, т. е. для того же момента вре-

мени.

§ t6 t. Сложение напряжений при последовательном соеди­

нении сопротивлений в цепи переменного тока. Включим

вцепь переменного тока последовательно аlПИВIюе сопро­

тивление R и индуктивное сопротивление ХL и подключим.

параллельно каждому из них вольтметр, измеряющий на­

пряжения между концами соответствующего участка цепи.

Ь и с. Третий вольтметр Vз измеряет напряжение иас между точками а и с (рис. 304).

Опыт показывает, что в случае, когда оба сопротивления одинаковы по своей природе, т. е. оба являются активными,

или индуктивными, или емкостными, то, как и в случае

постоянного тока, напряжение на всем участке ас равно сум-

иас = U аЬ +U Ьс.

388

В общем же случае, когда сопротивлеиия различны

по природе (рис. 304), напряжение на всем участке ш; всег­ да меньше суммы напряжений на участках аЬ и Ьс:

Если, например, включить в сеть с.напряжением 220 В по­

следовательно лампочку с активным Сопротивлением 60 Ом

и катушку с индуктивным СОПР'отивлением 80 Ом, то окажет­

ся, что напряжение на лампочке.равно 125 В, а напряжение

Рис.· 304. Сумма напряжений на

на катушке равно 166 В; сумма этих напряжений равна

Причина этого в том же сдвиге фаз между напряжениями

UаЬ И UЬс' какой мы наблюдали между токами в napaдJ.lMb­

ных ветвях цепи (§ 160). действительно, заменив вольтмет­ ры V1 И V2 (рис. З04) осциллографами, можно убедиться в том, что напряжения UаЬ И UЬс не совпадают по фазе. Если первое сопротивление активное, а второе емкостное,

то напряжение UаЬ опережает по фазе напряжение UЬс на

четверть периода, а если второе сопротивление индуктив­ ное, то напряжение UаЬ отстает по фазе от напряжения UЬс на такую же величину. Кривые, изображающие форму

напряжений UаЬ И UЬС' были бы расположены в этом случае

таК.же, как соответствующие кривые на рис. ЗОЗ, 8.

Для MfHOJ3eHHblX значений напряжений всегда имеет

место соотнощение

и=и1 +и2,

но результат сложения двух синусоидальных напряжений, т. е. амплитуда и фаза результирующего напряжения, бу­

дет зависеть от разности фаз между складываемыми напря­

жениями так же, как и в случае токов.

§ 162. Сдвиr фаз между током и напряжением. Проделаем -слеДУЮЦJ.I:IЙ опыт. Возьмем описанный в § 15-3 осциллограф

181.

с двумя петлями и включим его в цепь так (рис. З05, а), чтобы петля 1 была включена в цепь последовательно с кон­ денсатором, а петля 2 параллельно этому· конденсатору.

Очевидно, что кривая, получаемая от петли 1, изображает форму тока, проходящего через конденсатор, а от петли 2

\

\

а)

о)

~и

/J)

Рис. З05. Опыт по обнаружению сдвига фаз между током и напряже­

нием: слева - схема опыта, справа - результаты

дает форму напряжения между обкладками конденсатора (точками а и Ь), потому что в этой петле осциллографа ток в каждый момент времени пропорционален напряжению. Опыт показывает, что в этом случае кривые тока и напря­

жения смещены по фазе, причем ток опережает по фазе на-

Э90

пряжение на четверть периода (на n/2). Если бы мы заме­

нили конденсатор катушкой с большой индуктивностью

(рис. З05, б), то оказалось бы, что ток отстает по фазе от

напряжения на четверть периода (на n/2). Наконец, таким

же образом можно было бы показать, что в случае активного

.сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе (рис.

305, в).

В общем случае, troгaa учш;ток цепи содержит не moЛЬ­

цами этого участка сдвинуто по фазе относительно тока,

. причем сдвиг фаз лежит в пределах от +n/2 до -n/2 и оп­ ределяется соотношениеЛ1- .между активным и реактивным сопротивлениями данного учш;mка цепи *).

В чеl\J заключается физическая причина наблюдаемого

сдвига фаз между током и напряжением?

Если в цепь не входят конденсаторы и катушки, т. е. el\JKOCTHblM и индуктивным сопротивлениями цепи можно

пренебречь по сравнению с активным, то ток следует за на­

пряжением, проходя одновременно с ним через ,максимумы

и нулевые значения, как это показано на рис. 305, в. Если цепь имеет заметную индуктивность L, то при про­

хождении по ней переменнога тока в цепи возникает э. д. с.

самоиндукции. Эта э. д. с. по правилу Ленца направлена так,

что она стремится препятствовать тем изменениям магнит­

ного поля (а следовательно, и изменениям тока, создающего

это поле), которые вызывают э. д. с. индукции. При нараста­

нии тока э. д. с. самоиндукции препятствует этому нараста­

нию, и потому ток позже достигает максимума, чем в от­

сутствие самоиндукции. При убывании тока э. д. с. самоин­

дукции стремится поддерживать ток и нулевые значения·

тока будут достигнуты в более поздний момент, чем в от­ сутствие самоиндукции. Таким образом, при нал~чии ин­

дуктивности ток отстает по фазе от тока в отсутствие индук­ тивности, а следовательно, отстает по фазе от своего напря­

жения.

Если активным сопротивлением цели R можно прене­

бречь по сравнению с ее индуктивным сопротивлением

X/.=roL, то отстава.Ние тока от напряжения по времени

*) СДВИГ фаз IP определяется' формулой

391

равно Т/4 (сдвиг фаз равен n/2), т. е. максямум и совпадает

с i=O, как это показано на рис. 305, б. действительно, в этом СЛУЧi\е напряжение на активном сопротивлении Ri=O, ибо R=O, и, следовательно, все внешнее напряжение u

уравновешивается э. д. с. индукции, которая противопо­

ложна ему по направлению: u=L /J..{/M. Таким образом, максимум u совпадает с максимумом /J..i//J..t, т. е. наступает

в тот момент, когда i изменяется быстрее всего, а это быва­

ет, когда i=O. Наоборот, в момент, когда i проходит через

максимальное значение, изменение тока наименьшее

(М/М=О), т. е. в этот момент и=О.

Если активное сопротивление цепи R не настолько мало, чтобы им можно было пренебречь, то часть внешнего напряжения u падает на со­ противлении R, а остальная часть уравновешивается э. д. с. самоиндук­ uии: и= RH-.L tJ.i1tJ.t. В этом случае максимум i отстоит от максимума u

по времени меньше, чем на Т/4 (сдвиг фаз меньше л/2), как это изображено

!,!/

Рис. 306. Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, содержащей

активное и индуктивное сопротивления

на рис. 306. Расчет показывает, что в этом случае отставание по фазе <р может быть вычислено по формуле

(162.1)

При R= О имеем tg 'Р= 00 и 'Р= л/2, как это объяснено выше.

Если цепь состоит из конденсатора емкости С, а актив­ ным сопротивлением можно пренебречь, то обкладки кон­

денсатора, присоединенные к источнику .тока с напряже­

нием и, заряжаются и между ними возникает напряж~ние

ис. Напряжение на конденсаторе ис следует за напряжением

392

источника тока и практически мгновенно *), т. е. достигает·

- максимума одновременно с и и обращается в нуль, когда

чае показана. на рис. З07, а. На рис. З07, б условно изобра­

жеlf процесс I1ерезарядки конденсатора, связанный с появ­

лением переменного тока в цепи.

Когда конденсатор заряжен до максимума (т. е. ие, а_

следоватеЛБНО, и u имеют максимальное значение), ток

t

•

и)

Рис. 307. а) Сдвиг фаз между напряжением и током в цепи с емкостным

сопротивлением в отсутствие, активного сопротивления. б) Процесс

перезарядки конденсатора в цепи переменного тока

;=0 и вся энергия цепи есть' электрическая энергия

заряженного конденсатора (точка а на рис. З07, а). При

уменьшении напряжения'u конденсатор начинает разряжать­ ся и в цепи появляется ток; он направлен от обкладки 1

к обкладке 2, т. е. навстречу напряжению и. Поэтому на рис. З07, а он изображен как отрицательный (точки лежат ниже оси времени). К моменту времени t=T/4 кqнденса­ тор полностью разряжен (ис=О и и=О), а ток достигает максимального значения (точка Ь); электрическая энер­

гия равна нулю, и вся энергия сводится к энергии магнит­

ного поля, создаваемого током. Далее, напряжение u ме-

*) Мы знаем (§ 43), что напряжение распространяется вдоль цепи

с огромной скоростью с=3 .\08 м/с (скорость света). Так как длина цеп и

от источника. тока до обкладок конденсатора невелика, то напряжение

на обкладках ис может отстать от и только на ничтожную долю секун.

ДЫ, т. е. практически следует за и без запа:Щ9lilания.

39-3