Ответы на все вопросы по линейной алгебре

204.симметрической квадратичная матрица называется если а_ij=а_ji, то есть если равны элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали

205.свойства собственных чисел и векторов симметрической матрицы: все собственные числа симметрической матрицы действительные, собственные векторы симметрической матрицы ортогональны

206.матрицей квадратичной формы называется симметрическая матрица

207.каноническим видом квадратичной формы называется вид f(х₁,х₂,х₃)=к₁

208. Выписать матицу КФ

Составить харакетр. Уравнение

Найти собственные значения

Найти для каждой 𝝀 значения матрицы ( то есть собственный вектор) нормировать вектор

Составить матрицу перехода и найти (x,y,z)

209. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполнено неравенство .

210. Критерий Сильвестра определяет, является ли квадратная матрица положительно (отрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (aij). Тогда эта форма положительно определенна, если и только если все её угловые миноры Δi положительны, и отрицательно определенна, если и только если их знаки чередуются, причём Δ1 < 0.< 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

211. комплексным числом Z наз.упорядоченная пара действительных чисел (a,b):z=(a,b).

212. а=ReZ - действительная часть комплексного числа z, а b=Imz – мнимая часть z.

213. алгебраическая форма комплексного числа z=a+ib.

214. правила действий над комплексными числами в алгебраической форме : Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что  ,  и т. д.: Правило сложения. При сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно. Правило вычитания. При нахождении разности комплексных чисел  из действительной и мнимой частей уменьшаемого  вычитаются соответственно действительная и мнимая части вычитаемого. Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .Правило деления. Чтобы разделить число  (), следует числитель и знаменатель дроби  умножить на число , сопряженное знаменателю

215. комплексное число Ž=a+ib называют комплексно-сопряжённым числу z=a+ib.

216. Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

217. аргументом числа z называется угол  (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z,

218. тригонометрическая форма записи комплексного числа z= ρ(cosψ + i sinψ).

219. умножение двух комплексных чисел в тригонометрической форме z₁z₂=₁₂(cos(₁+₂)+isin(₁+₂))

220. деление двух комплексных чисел в тригонометрической форма z₁/z₂=₁/₂(cos(₁-₂)+isin(₁-₂))

221. zⁿ= ρⁿ(cosψ + i sinψ) – формула Муавра.

222. комплексное число z₁=ⁿ называется корнем n-степени из z,если z=zⁿ _1.

223. показательная форма комплексного числа Z=ρe^iψ.

224. Эллипс-множество точек плоскости,сумма расстояний от которых до двух данных точек,называемых фокусами эллипса-const.

225. координаты эллипса : Если обозначить расстояние между фокусами F1 и F2 через 2с, тогда координаты фокусов будут соответственно (-с, 0) и (с, 0). 

226. каноническое уравнение эллипса : (x²/a²)+(y²/b²)=1

227.эксцентриситетом эллипса называется число ξ=c/a, т.к. для эллипса c<a, то эксцентриситет <1.

229. гипербола – множество точек плоскости, разность расстояния от которых до двух данных точек называемых фокусами гиперболы есть величина постоянная равная 2а.

230.координаты фокуса гиперболы Точки F₁(-c;0) и F₂(c;0) называются фокусами гиперболы. Здесь c= 

231.каноническое уравнение гиперболы (x²/a²)-(y²/b²)=1

232. уравнение асимптот гиперболы(x/a)(y/b)=0; y=(b/a)*x

233.эксцентриситет гиперболы =с/а

235. парабола- множество точек плоскости равноудалённых от данной точки F-фокуса и от данной прямой d- директриса параболы.

236. координаты фокуса параболы: точка F(p/2, 0) — фокус;

237.каноническое уравнение параболы у²=2px

238. уравнение директрисы параболы: прямая x = −p/2 — директриса

240.поверхность второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0 в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃ отличен от нуля.

241. каноническое уравнение эллипсоида(x²/a²)+(y²/b²)+(z²/c²)=1

242. каноническое уравнение однополостного гиперболоида :

243. каноническое уравнение двуполостного гиперболоида:(x²/a²)+(y²/b²)-(z²/c²)=-1

244. каноническое уравнение конуса второго порядка:

245. каноническое уравнение эллиптического параболоида:

246. каноническое уравнение гиперболического параболоида:

247. каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

248. каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

249. каноническое уравнение параболического цилиндра: