2.7.2 Общая постановка транспортной задачи

В общем виде транспортную задачу можно сформулировать в следующем виде:

Имеется m поставщиков и n потребителей. Каждый поставщик содержит товар в количестве a_i (i=1, 2, . . . , m). Каждому потребителю необходимо b_j (j=1, 2, . . . , n) товара. Известна стоимость С_ij перевозки единицы товара от i-го поставщика к j-ому потребителю. Необходимо составить такой план перевозок, при котором суммарная стоимость была бы наименьшей.

Если х_ij — количество товара, перевезенного от i-гo поставщика к j-ому потребителю, то математическая формулировка выглядит так:

Целевая функция

(2.51)

Наличие товара у поставщиков

, (i=1,2,…,m), (2.52)

Потребность потребителей

. (j=1,2,…,n), (2.53)

Условие неотрицательность результата

, (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n). (2.54)

Задача (2.51) — (2.54) является задачей ЛП, в которой m*n переменных и m + n ограничений, записанных в виде равенств.

Если общее количество товара у всех поставщиков равно общему количеству товара, требуемого потребителями, т. е.

, (2.55)

то такая модель транспортной задачи называется закрытой. В противном случае, модель называется открытой. Если модель является открытой, то соответствующие ограничения принимают форму неравенств.

В общем виде транспортная задача представлена в таблице 2.15.

Таблица 2.15

	Потребители
Поставщики	1	2	…	j	…	n		запас
1	С11	С12	.	С1j	.	С1n		a1
2	С21	С22	.	С2j	.	С2n		a2
	:	.	.		.	.		.
i	Сi1	Сi2	.	Сij	.	Сin		ai
m	Сm1	Сm2	.	Сmj	….	Сmn		am
потребность	b1	b2	…	bj		bn

В каждую клетку в записывают соответствующее значение С_ij.

Число уравнений, составляющих ограничения транспортной задачи, равно m + n. Однако, на самом деле одно из уравнений этой системы (причем любое) является линейной комбинацией остальных уравнений, что можно проверить непосредственно.

Тот факт, что в транспортной задаче одно из уравнений является лишним, следует из равенства запасов и потребностей. Таким образом, число линейно-независимых уравнений, составляющих ограничения в транспортной задаче, равно m + n - 1.

Можно найти решение транспортной задачи с помощью известных методов решения задач ЛП (например, симплекс-метода). Далее будут рассмотрены упрощенные способы решения.

Построение первоначального опорного плана транспортной задачи

Идейно методы решения транспортных задач это те же алгоритмы симплекс-метода, представленные для транспортной задачи в удобной форме. Сначала находится первоначальный опорный план, затем осуществляется процесс улучшения решения до тех пор, пока найденный опорный план не станет оптимальным. Рассмотрим два способа получения первоначального опорного плана.