Электроэнергетика 2 часть / Электроэнергетика / Раздел 12-2. Выбор места расположения питающих подстанций
.pdfСодержание Раздела 12-2 |
|
Задача оптимального распределения приёмников электроэнергии объекта |
|
по источникам питания........................................................................................ |
2 |
Задача о числе источников питания................................................................... |
4 |
Показатель связи распределения нагрузок........................................................ |
6 |
Тензорная природа характеристических свойств распределения нагрузок |
|
приёмников........................................................................................................... |
7 |
Показатели характеристических свойств группы приёмников....................... |
9 |
1
Раздел 12-2. Выбор места расположения питающих подстанций
Задача оптимального распределения приёмников электроэнергии объекта по источникам питания
При проектировании систем промышленного электроснабжения такая задача возникает и её решают, когда требуется заданное множество приёмников электроэнергии промышленного объекта разбить на s групп по источникам питания или узлам распределения электроэнергии так, чтобы удовлетворить некоторые критерии оптимальности. Для постановки и решения этой задачи необходима целевая функция, с помощью которой можно измерять качество группировки любой части множества G приёмников электроэнергии. В качестве такой функции выберем суммарный показатель разброса нагрузок в группах
s |
m j |
|
|
Ф = ∑ ∑Pi [(xi −ξj )2 +( yi |
−ηj )2 ], |
(1) |
|
j=1 i=1 |
|
|
|
где ξj и ηj |
– j =1, 2, ..., s |
– искомые координаты мест |
расположения |
источников питания.
Разбиение приёмников электроэнергии на группы по заданному числу источников питания, минимизирующее целевую функцию (1), приводит к уменьшению суммарных затрат на построение и эксплуатацию системы электроснабжения этих групп. Когда найдена целевая функция, разбиение становится корректно поставленной задачей оптимизации.
Требуется заданное множество G приёмников электроэнергии zi , с
номерами i =1, 2, ..., n , нагрузки Pi |
и координаты ( xi ; yi ) мест расположения |
которых известны, разбить на s |
непересекающихся групп Aj , j =1, 2, ..., s , |
s < n по заданному числу источников питания так, чтобы целевая функция (1) приняла наименьшее значение. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть правила выбора центров распределения, критерий принадлежности каждого приёмника электроэнергии одному центру распределения, а также алгоритм распределения. На начальной стадии выбор
2
центров распределения может быть произвольный. Однако, приняв во внимание свойство показателя разброса нагрузок всего множества приёмников, описанное в предыдущей теме1, начальные центры распределения выбираем так, чтобы они были удалены друг от друга на наибольшие расстояния. Кроме того, при выборе начальных центров распределения может быть использована другая информация об особенностях распределения нагрузок (места скопления приёмников, места возможного расположения источников питания и картограммы нагрузок).
В качестве критерия принадлежности приемника zi с координатами
( xi ; yi ) группе |
Aj |
с центром (ξj ; ηj ) |
распределения используем следующее |
||||||||
правило: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zi Aj , |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
если (x −ξ |
)2 |
+( y −η |
)2 < (x −ξ |
)2 |
+( y −η |
)2 , l =1, 2, ..., s ; i ≠ j , т.е. приёмник z |
i |
с |
|||
i j |
|
|
i |
j |
i l |
|
i |
l |
|
|
|
номером i относится к группе |
Aj , |
расстояние до центра (ξj ; ηj ) которой от |
|||||||||
места расположения ( xi ; yi ) приёмника наименьшее.
К хорошим результатам распределения приводит следующий алгоритм, минимизирующий целевую функцию (1). На 1-м шаге его работы выбирают исходные центры (ξj ; ηj ) j =1, 2, ..., s разбиения; по правилу (2) приёмники электроэнергии разносят по выбранным центрам. Для каждой группы вычисляем ЦЭН, которые принимают за центр разбиения на 2-м шаге. На k-м шаге вычислительную процедуру 1-го шага повторяем, при этом целевая функция (1) не возрастает. Если на любом ( k +1)-м шаге работы алгоритма по всем группам ЦЭН остались неизменными, то функция (1) достигла минимума, а разбиение заданного множества на группы оптимума. Работа алгоритма прекращается.
1 Разложение показателя разброса нагрузок на составляющие
3
Задача о числе источников питания
Для заданного множества приёмников электроэнергии требуется найти наивыгоднейшее число s источников питания. Для решения этой задачи разбивают приёмники электроэнергии на группы по найденному числу источников питания и в каждой группе определяем место расположения источника питания. Таким образом, здесь оптимизируется такой новый параметр системы электроснабжения, как число источников питания. При помощи критериев оптимизации, которые были уже использованы ранее, эта задача не может быть решена. Постановка и решение задачи о выборе оптимального числа источников питания сводится к поиску условия, определяющего этот параметр. При традиционном подходе к проектированию систем электроснабжения эту задачу решают методом вариантного сопоставления и отбора варианта с числом источников питания, при котором суммарные приведённые затраты на сооружение и эксплуатацию системы электроснабжения будут наименьшими. Это условие используем в качестве критерия отбора варианта с наивыгоднейшим числом источников питания. Если бы были известны удельные приведенные затраты з1 и з2 , т.е. затраты на единицу разброса нагрузок на распределительные и питающие сети соответственно, то целевую функцию затрат для поиска оптимального числа источников питания можно было бы составить из показателей разброса нагрузок приёмников по группам относительно места расположения источников питания и показателя разброса нагрузок проектируемых источников питания относительно места расположения заданного источника питания
З = з1 ∑s |
R2j + з2 ∑s |
R02j . |
(3) |
j=1 |
j=1 |
|
|
Но такие исходные данные не введены в проектную практику. Поэтому целевую функцию составляют из затрат на сети. Для сокращения записей таких целевых функций считают, что распределительные и питающие сети радиально-лучевые. Для таких сетей целевая функция затрат имеет вид:
4
s m j |
s |
|
|
З = ∑∑зi |
(xi −ξj )2 +( yi −ηj )2 +∑зj |
(ξj −a)2 +(ηj −b)2 , |
(4) |
j=1 i=1 |
j=1 |
|
|
где зi и зj – |
удельные приведённые |
затраты на единицу |
длины линий |
распределительных и питающих сетей соответственно; s – искомое число
источников питания; ξj и ηj |
– искомые координаты их мест расположения; а |
|||||
и b – координаты мест расположения заданного источника питания. |
|
|||||
Первое |
слагаемое |
(4) |
представляет |
собой |
затраты |
на |
распределительные сети, связывающие проектируемые источники питания с приёмниками электроэнергии по группам; второе слагаемое – затраты на питающие сети, соединяющие заданный источник питания, расположенный в точке (а, b), с проектируемыми. При необходимости целевая функция (4)
может быть дополнена слагаемым, учитывающим стоимость Зj самих
источников питания ∑s |
|
j . |
|
|||
З |
|
|||||
|
j=1 |
|
|
|
||
Тогда целевая функция принимает вид: |
|
|||||
З = ∑s |
Зj + З0 +∑s |
|
j , |
(5) |
||
З |
||||||
j=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
где Зj – затраты на распределительную сеть группы приёмников с номером j;
З0 – затраты на питающую сеть.
При изменении числа источников питания от s =1 до s = k функции (4) и (5) изменяют свои значения, причём первое слагаемое убывает, второе и третье возрастают. Следовательно, существует такое значение s = k числа источников питания, при котором функции (4) и (5) принимают наименьшее значение. Поиск их осуществляется методом вариантного сопоставления затрат, рассчитанных по (4) и (5) разбиением заданного множества приёмников на две, три и большее число групп (по алгоритму предыдущего пункта).
5
Показатель связи распределения нагрузок
Формулы преобразования показателей разброса нагрузок Rx и Ry при
повороте системы координат показывают, что эти показатели в новой системе координат выражаются через исходные показатели и третью новую
величину |
∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η) , смысл |
которой раскрывается при |
помощи |
|||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
следующей геометрической интерпретации: наборы произведений |
|
||||||||||
|
|
|
|
=[ |
P (x −ξ), |
P (x |
−ξ), ..., |
P (x |
−ξ)] |
|
|
|
|
A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
i |
2 2 |
|
n n |
|
(6) |
|
|
|
|
|
P1 ( yi −η), |
P2 ( y2 |
|
Pn ( yn |
|
||
|
B |
=[ |
−η), ..., |
−η)] |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будем рассматривать как векторы в n-мерном евклидовом пространстве. Тогда показатели разбросов Rx и Ry по осям могут быть интерпретированы как квадраты длин этих векторов. Векторы эти в рассматриваемом пространстве в зависимости от распределения нагрузок приёмников в группе имеют такое взаимное расположение, которое определяется косинусом угла между ними
cosϕ = |
∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η) |
(7) |
|
i=1 |
|
. |
||
|
|
|||
|
|
Rx Ry |
|
|
Существование этой величины обосновано известным неравенством Коши-Буняковского, которое для данной задачи имеет вид:
∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η) |
≤ Rx Ry . |
(8) |
i=1 |
|
|
|
Знак равенства в этом соотношении имеет место в том и только в том случае, когда векторы A и B параллельны
λ Pi (xi −ξ) = Pi ( yi −η), i =1, 2, ..., n, |
(9) |
т.е. когда приёмники электроэнергии расположены на отрезке прямой y = λx ,
проходящей через точку (ξ;η ). В этом случае cos ϕ = ±1 в зависимости от знака коэффициента пропорциональности. При уменьшении cos ϕ от 1 до
нуля при одних и тех же длинах векторов |
|
и |
|
величина ∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η) |
A |
B |
||||
|
|
|
|
i=1 |
|
6
убывает до нуля. Расположение нагрузок в группе изменяется: они заполняют некоторую область, и в пределе, когда cos ϕ = 0 , векторы A и B
ортогональны. Этот факт будем интерпретировать как уменьшение линейной связи распределения нагрузок вдоль отрезка прямой, а величину
Rxy = ∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η), |
(10) |
i=1 |
|
|
как показатель связи распределения нагрузок. Эта величина обладает свойством
Rxy = ∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η) = ∑n |
Pi ( yi −η)(xi −ξ) = Ryx , |
(11) |
i=1 |
i=1 |
|
|
т.е. она не изменяется при перестановке сомножителей (xi −ξ) и ( yi −η) . При повороте системы координат на угол α показатель связи преобразуется по формуле
Rxy' = |
1 |
(Ry −Rx ) sin 2α + Rxy cos 2α. |
(12) |
|
2 |
|
|
Следовательно, существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, в которых показатель связи достигает как наибольшего, так и наименьшего значений.
Тензорная природа характеристических свойств распределения нагрузок приёмников
В задачах проектирования систем промышленного электроснабжения, в которых приёмники электроэнергии рассматривают как точки, характеризующиеся удельными приведёнными затратами на элементы системы электроснабжения, активными и реактивными нагрузками, координатами мест расположения и другими параметрами, свойства распределения этих величин имеют тензорную природу и с наибольшей полнотой могут быть описаны тензорами2. Тензор является обобщенным понятием вектора как физической величины, которая в каждой точке
2 упорядоченное в виде строки, матрицы, параллелепипеда множество математических элементов.
7
характеризуется числом и направлением. В отличие от вектора тензор как физическая величина в каждой точке по каждому направлению характеризуется своим числовым значением.
При изучении разброса нагрузок относительно точки (ξ;η ) мы воспользовались тензором, состоящим из трёх компонент
Rx = ∑n |
Pi (xi −ξ)2 , Ry = ∑n |
Pi ( yi −η)2 , Rxy = ∑n |
Pi (xi −ξ)( yi −η), |
(13) |
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
который в каждых двух взаимно перпендикулярных направлениях, фиксированных осями координат, описывает разбросы нагрузок и связи распределения нагрузок относительно этих осей. Аналитическим признаком тензора являются формулы преобразований его компонент при повороте системы координат на угол α
Rx' = ∑n |
Pi (xi −ξ)2 cos2 α +∑n |
Pi (xi |
−ξ)( yi |
−η) sin 2α +∑n |
Pi ( yi |
−η)2 sin2 |
α; |
|
|||||
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Ry' = ∑n |
Pi (xi −ξ)2 sin2 α −∑n |
Pi (xi |
−ξ)( yi |
−η) sin 2α +∑n |
Pi ( yi |
−η)2 cos2 |
α; |
(14) |
|||||
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
R' |
= 1 |
(R |
y |
−R ) sin 2α + R cos 2α |
|
|
|
|
|
||||
xy |
2 |
|
|
x |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По этим формулам по каждым двум взаимно перпендикулярным направлениям могут быть вычислены показатели разброса нагрузок и момент их связи. Эти показатели допускают и другую геометрическую интерпретацию.
Всистеме координат x0 y рассмотрим линию, определённую радиусом
-вектором r с координатами ( x ; y ).
Рис. 1. Линия, определённая радиусом - вектором r , использованная для вывода уравнения эллипса
8
Из рис. 1 следует, что
cosα = |
x |
|
; sinα = |
y |
. |
|
|
|
|
(15) |
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||
Внесём, |
например, |
во |
второе |
равенство |
(14) |
вместо |
||||
тригонометрических функций их выражения через координаты ( x ; y ) и
длину радиуса - вектора r |
рассматриваемой линии из (15), будем иметь: |
||
Rx x2 −2Rxy + Ry y 2 |
= Ry' r 2 . |
(16) |
|
Если положить, |
что |
Ry' r 2 = λ |
– величина постоянная, то полученное |
уравнение определяет линию 2-го порядка. |
Поскольку величины Rx > 0 и |
Ry > 0 положительны по определению, то |
эта линия является эллипсом |
рассматриваемого тензора. Эллипс несёт существенную информацию о распределении нагрузок в группе и об их разбросах относительно его центра и главных осей. Эта информация раскрывается при помощи инвариантов тензора – величин, не зависящих от выбора системы координат. Тензор (13) имеет два независимых инварианта, при помощи которых можно построить любое число других инвариантов, описывающих характеристические свойства распределения нагрузок в изучаемой группе приёмников. В качестве независимых инвариантов тензора выбирают два инварианта
R2 = Rx + Ry |
(17) |
и |
|
I 2 = (Rx − Ry )2 + 4Rxy2 . |
(18) |
Показатели характеристических свойств группы приёмников
Выразим через независимые инварианты R2 и I 2 тензора (13) показатели некоторых характеристических свойств, описывающих любую группу приёмников. Описать группу приёмников при помощи показателей характеристических свойств – это значит получить необходимую информацию о закономерностях распределения нагрузок и геометрии
9
взаимного расположения приёмников в группе относительно возможного центра их питания. Такая информация приобретает важное значение при решении задач автоматизированного проектирования систем электроснабжения промышленных предприятий. Дело в том, что в процессе автоматизированного формирования и отбора вариантов систем электроснабжения возникает необходимость оценивать эти варианты, не прибегая к фиксации их на планах. Такая задача может быть решена только с помощью формализованных показателей, раскрывающих свойства групп приёмников, распределенных по источникам питания, а следовательно, и самих вариантов, от которых зависят технико-экономические показатели проекта. Простейшие показатели характеристических свойств группы приёмников – это центр электрических нагрузок и показатели разброса нагрузок вдоль осей координат и относительно произвольной точки (ξ;η ) и
ЦЭН. Все эти показатели связаны с инвариантом R2 тензора (13). Теперь стоит задача описать размеры областей распределения нагрузок и расположения самих приёмников в группе. Показатель размера области распределения нагрузок мы получим, если инвариант R2 разделим на суммарную нагрузку приёмников группы
ρ2 = |
R2 |
. |
(19) |
n |
∑Pi
i=1
Этот показатель представляет собой квадрат средних расстояний, взвешенных по нагрузкам мест расположения приемников в группе от точки (ξ;η ), относительно которой вычислен разброс R2 , до места расположения приёмников. Этот показатель зависит от выбора точки (ξ;η ). Наименьшее значение он принимает, когда разброс R2 вычислен относительно центра электрических нагрузок. Показатель размера области распределения нагрузок остается неизменным при повороте осей системы координат. Следовательно, он является инвариантом тензора (13). Показатель (19) имеет размерность квадрата длины. Для наглядной характеристики размера области
10