4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления

Рассмотрим цепь, включающую в себя все три элемента ,и, включённые последовательно (рис. 4.5). Подставим в выражение для амплитуды заряда (4.20) значения

,,.

Тогда формула (4.20) приводится к виду

,

а зависимость заряда конденсатора от времени (4.19) примет вид

.

Сила тока в цепи

.

Таким образом, ток в цепи совершает гармонические колебания с амплитудой

.

Для удобства переобозначим циклическую частоту колебаний внешней ЭДС . Тогда:

(4.23)

Величина называетсяреактивным сопротивлениемцепи, сопротивление активным сопротивлениемцепи.

Термин «активное сопротивление» используется в том смысле, что именно на этом сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.

Величина называетсяполным сопротивлениемцепи.

Формулу (4.23), связывающую амплитудные значения тока и напряжения, можно записать в виде, формально совпадающим с законом Ома для участка цепи в случае постоянного тока

. (4.24)

Уравнение (4.24) представляет собой закон Ома для переменного тока.

Наибольшее амплитудное (резонансное) значение силы тока будет при наименьшем значении знаменателя в уравнении (4.23), т.е. когда .

При .

Последнее уравнение представляет собой условие резонансадля тока: амплитуда силы тока максимальна при совпадении частоты внешней ЭДС и собственной частоты контура. Вспомним, что амплитуда заряда достигает максимального значения при условии. Условия для резонанса тока и заряда конденсатора практически совпадают при небольших затуханиях.

В резонансе полное сопротивление цепи переменному току равно активному сопротивлению:. При этом амплитудное значение тока.

4.4.3. Метод векторных диаграмм

Закон Ома для амплитуд переменных токов внешне напоминает закон Ома для постоянного тока. А как выглядят законы последовательного и параллельного соединения элементов в цепи переменного тока? Как можно рассчитать токи и напряжения на отдельных элементах в случае разветвлённых цепей?

Если два синусоидальных тока исходятся в узле, то суммарный ток, вытекающий из узла. Очевидно, что амплитуда суммарного тока в общем случае может быть не равна сумме амплитуд втекающих в узел токов:. Действительно, колебания токовипроисходят с некоторой разностью фаз (величиныиразные), а значит, токиине одновременнодостигают максимума или минимума.

Сложить два колебания одинаковой частоты можно, используяметод векторных диаграмм (рис. 4.8). В плоскостиx0yиз начала координат проводятся векторы, длины которых равныипод угламиис положительным направлением оси 0x, откладываемыми против часовой стрелки. Тогда векторI₀, равный сумме этих векторов, будет иметь параметры результирующего колебания: его длина равна амплитуде, а угол с положительным направлением оси 0xначальной фазе результирующего колебания. Таким образом, сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, амплитуды которых равныи, а начальные фазыи, представляет собой гармоническое колебание той же самой частоты с амплитудой

(4.25)

и начальной фазой , определяемой из уравнения

. (4.26)

Точно так же складываются напряжения при последовательном соединении элементов цепи.

Итак, складывать токи и напряжения в цепи с переменным синусоидальным током нужно векторно. Законы для последовательного и параллельного соединения двух элементов можно записать в виде

и соответственно.

Приведём несколько примеров.

Сначала ещё раз рассмотрим цепь, состоящую из активного сопротивления, индуктивности и ёмкости, соединённых последова­тельно (рис. 4.5). Пусть амплитуда силы тока в цепи равна(сила тока будет одинакова для всех трёх элементов). Отложим векторвдоль осиx(рис. 4.9). По закону Ома амплитуды напряжений на отдельных элементах цепи

,,.

Вектор направлен вдоль оси 0xтак как напряжение на активном сопротивлении колеблется в одной фазе с током. Так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на, векторповёрнут относительно оси 0xна уголпротив часовой стрелки, т.е. направлен вдоль положительного направления оси 0y. Так как напряжение на ёмкости отстаёт от тока по фазе на, векторповёрнут относительно оси 0xна уголпо часовой стрелке, т.е. направлен вдоль отрицательного направления оси 0y. По закону последовательного соединения амплитудусуммарного напряжения в цепи найдём из векторного уравнения:. Сначала удобно сложить противоположно направленные вектораи. Их сумма равна вектору, направленному вдоль оси 0yи по величине равному, гдереактивное сопротивление цепи. Далее по теореме Пифагора находим величину результирующего вектора

.

Последняя формула в точности совпадает с формулой (4.23).

Используя векторную диаграмму, легко найти сдвиг фаз между током в цепи и суммарным напряжением на концах цепи. Сдвиг фаз равен углу между векторамии. Из прямоугольного треугольника

. (4.27)

Для нормального функционирования электрической схемы параметры всех её элементов должны быть точно рассчитаны. Как правило, расчёт электрических цепей с переменным током, содержит больше нюансов по сравнению со схемами питания постоянным током. Например, вблизи резонанса напряжение на отдельном элементе схемы может во много раз превышать амплитуду напряжения генератора.

Пример 4.5.Рассчитать допустимую амплитуду напряжения генераторав электрической цепи на рис. 4.5, если пробой конденсатора наступает при напряженииВ. Параметры схемы:мкФ,Гн,Ом, частота генератораГц.

Решение.Циклическая частота генератора, индуктивное и ёмкостное сопротивления:

(Ом),(Ом).

Полное сопротивление цепи

(Ом).

Для того, чтобы не было пробоя конденсатора, амплитуда напряжения на нём не должно превышать значение :. Амплитуда напряжения на конденсаторе. По закону Ома (4.24) амплитуда тока в цепи. Таким образом

,(В).

Вывод: амплитуда напряжения генератора ~ 8 В приведёт к пробою конденсатора, выдерживающего напряжение 500 В!

Пример 4.6.К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением. Во сколько раз изменится амплитуда силы тока генератора, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлениема) последовательно, б) параллельно? Активным сопротивлением катушки пренебречь.

Решение.Соответствующие схемы представлены на рис. 4.10, а, б. Векторная диаграмма для схемы на рис. 4.10, а строится аналогично диаграмме на рис. 4.9. Вдоль оси 0xотложим вектор амплитуда тока. Тогда вектора амплитуд напряженийина сопротивлениии индуктивностибудут направлены вдоль осей 0xи 0yсоответственно (рис. 4.11, а). Суммарное напряжение или амплитуду напряжения генераторанайдём по теореме Пифагора:

.

Далее находим амплитуду силы тока

.

Так как по условию задачи , получаем:

.

Поскольку в отсутствие катушки , можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при последовательном включении в цепь катушки уменьшится враз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы последовательно включили ещё одно такое же активное сопротивление, амплитуда силы тока уменьшилась бы в 2 раза.

Теперь рассмотрим параллельное включение в цепь катушки (рис. 4.10,б). По закону параллельного соединения . При построении векторной диаграммы в этом случае удобно сначала отложить вектор амплитуды напряжения в цепивдоль оси 0x(рис. 4.11,б). Тогда, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении колеблются в одной фазе, вектор амплитуды силы токачерез сопротивлениебудет направлен так же вдоль оси 0x. Поскольку колебания тока через индуктивность отстают от напряжения по фазе на, вектор амплитуды силы токабудет направлен антипараллельно оси 0y. По закону параллельного соединения амплитуда суммарного тока генератора:. Так как вектораивзаимно перпендикулярны, тои с использованием закона Ома для отдельных участков цепи получаем

.

Так как по условию задачи , получаем соотношение

,

из которого можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при параллельном включении в цепь катушки увеличится в раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы параллельно включили в цепь ещё одно такое же активное сопротивление, то суммарное сопротивление уменьшилось бы в 2 раза, а амплитуда силы тока генератора возросла в 2 раза.