- •4. Электромагнитные колебания и волны
- •4.1. Колебательный контур
- •4.2. Колебательный контур с затуханием
- •4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
- •4.4. Переменный ток в электрических цепях
- •4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления
- •4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления
- •4.4.3. Метод векторных диаграмм
- •4.4.4. Эффективные напряжение и ток
- •4.4.5. Мощность в цепи переменного тока
- •4.5. Электромагнитные волны
- •4.5.1. Шкала электромагнитных волн
- •4.5.2. Получение электромагнитных волн
- •4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга
- •Список литературы
4.3. Вынужденные колебания в lcr-контуре
,
где циклическая частота колебаний ЭДС.
Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС:
.
Обозначая и учитывая, что,, получим
. (4.18)
Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС.
С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых
.
Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы. Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотамии. Такой режим колебаний называетсяпереходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания. Переходный режим заканчивается и наступает режимустановившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы
. (4.19)
Характеристики вынужденных колебаний изависят, во-первых, от параметров вынуждающей силыи, во-вторых, от параметров самой колебательной системыи, но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию(4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение для амплитуды вынужденных колебанийи величины. Опуская математические выкладки, приведём конечные результаты:
, (4.20)
. (4.21)
Пример 4.3. Вывести формулу для величин резонансной частоты и максимальной амплитудыBmax (рис. 4.6).
Решение. Для того чтобы найти точку максимума резонансной кривой, нужно в соответствии с правилами математики взять производную функции(4.20) и приравнять её к нулю:. В результате получится.
Далее, подставляя значение в формулу 4.20, получим, гдециклическая частота затухающих колебаний.
Если частота внешней силы , то значение амплитуды по формуле (4.20), что соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его кпостояннойЭДС.
Отношение резонансной амплитуды к величине статического отклонения колебательной системыназываетсядобротностью колебательной системы.
Используя формулы для и(см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний, получим:
.
Поскольку логарифмический декремент затухания, то:
. (4.22)
Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники.
Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла).